高等数学 数列的极限

目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束第一章二、数列极限存在准则一、数列极限的定义第三节数列的极限三、收敛数列的性质目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束对圆作内接正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、···这样继续循此下去,所得正多边形的面积就无限接近于圆的面积.割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.刘徽割圆术目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S.用其内接正n边形的面积刘徽rπnR目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束如果按照某一法则，对每个nxnNnx，对应着一个确定的实数，这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列123,,,,,nxxxx就叫做数列，简记为数列.{}nx数列中的每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的一般项或通项。nx1、数列定义目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例如注意：(1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取(2).数列是整标函数目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束观察下列数列当n无限增大时，LL,,21LL,0从上面可以看出:当n时,无限地接近于1,数列(2)从原点的两侧无限地接近于0,一般项的变化趋势:数列(1)从的右侧3,24,35,46,57,68,71,nn1,21,41,81,16目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束2.数列极限的定义当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于一个确定的常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于a,记为axnn=lim，当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.或)(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.习惯上也说目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例如,LL,1,,43,32,21nn1=nnxn)(1nnnxnn1)1(=)(1nLL,2,,8,4,2nnnx2=)(n1)1(=nnx趋势不定收敛发散目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束●●目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束●●●●●●●●●●●●●●●●目标不惟一！！！！！！！！！！！！目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束1.夹逼准则准则Ⅰ如果数列{},{}nnxy及{}nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn===L那么数列{}nx的极限存在,且axnn=lim.二、极限存在准则注意:,nnnnyzyz(1)利用夹逼准则求极限关键是构造出与并且与的极限是容易求的;limlim.nnnnyz=(2)目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例证明(1)1lim20nnn=证明(1)12nnxn=满足122nxnn由定义知1lim0,2nn=2lim0,nn=利用夹逼准则得(1)1lim20nnn=目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束(1)数列的有界性例如,有界；无界.数列{xn}有上界,即存在M,使xn≤M(n=1,2,…).数列{xn}有下界,即存在m,使xn≥m(n=1,2,…).2.单调有界准则目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束x1x2x3x1nxnxnx如果数列满足条件121,nnxxxx单调增加121,nnxxxx单调减少单调数列准则Ⅱ单调有界数列必有极限.几何解释:aMb)(limMaxnn=)(limmbxnn=(2)数列的单调性目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束如数列1{}nn{}1nn由准则Ⅱ知1limlim1nnnnnn及1lim1,lim1.1nnnnnn==及分别是单调减少且下界为1及单调增加且上界为1的数列,存在.实际上目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例222().nxn=证明数列重根式的极限存在证12,x=;nx是单调递增的122,x=又2,kx假定12kkxx=222,=;nx是有界的lim.nnx存在12nnxx=1,nnxx假设2122,xx=显然32222,xx=1,nnxx因此1122nnnnxxxx=则1122nnnnxxxx=目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束证明数列极限存在.证:利用二项式公式,有nnnx)1(1==1nn1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnLnnnnnnn1!)1()1(L=11)1(1!1nn)1(2n)1(1nnL)1(1!21nL)1(1!31n)1(2n设例.目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束=11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nnL)1(1!21nL)1(1!31n)1(2n=111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nnL)1()1)(1(11211!)1(1nnnnnL大大正),2,1(1L=nxxnn=11)1(1nnnx又比较可知大1112!111(1)(1)(1)nnnnn目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束根据准则2可知数列nx记此极限为e,e)1(lim1=nnne为无理数,其值为L590457182818284.2e=即有极限.=11)1(1nnnx11又31213=n内容小结目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束(1)收敛的数列必定有界.注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例如,有界但不收敛1)1(n数列三、收敛数列的性质(2).收敛数列的极限唯一.(3).收敛数列具有保号性.若且有)0()0(则推论:若数列从某项起)0(.)0(目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束子数列的收敛性注：例如，所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列（或子列）.在子数列中，一般项是第k项，而在原数列中却是第项，显然，(4).收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束1.无界数列必定发散.2.一子列发散,则数列发散.3.两子列收敛到不同的极限,则数列发散.例:证发散数列判别法:注:一个发散的数列也可能有收敛的子数列.目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束内容小结1.数列极限的定义3.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限作业P191,32.极限存在准则单调有界准则夹逼准则目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束数列极限的精确定义axnn=lim，当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.或)(naxn目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过观察:当n无限增大时,1(1)1nnxn=无限接近于1.引例观察数列1(1){1}nnn当时的变化趋势.11,10000nx有1,10000给定10000,n只要时1nx=111(1)nnn=,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有6110,nx有610,给定610,n只要时0,给定1([]),nN=只要时1.nx有成立目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束只要n无限增大，xn就会与1无限靠近。引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。注：0就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.axan)(Nn即),(aUxn)(Nnaxnn=lim或)(naxn则称该数列的极限为a,定义:设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数(不论它多小)总存在正整数N,使得当nN时,不等式都成立，目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.数列极限的几何意义使得N项以后的所有项注：越小,表示与a接近得越好.目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束anNaanxn目的：lim0,nnnxaNnNaxa=要找到一个自然数使得时，有●●●●●●●●●目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束Naaa越来越小，N越来越大！nxn目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例1用定义证明证明对于任意给定的要使只要取自然数则当时，有,所以注：0就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例2.已知证明数列的极限为1.证:=1nx1)1(nnn,0欲使即只要1n因此,取,]1[=N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlim==nnxnnnnN与有关,但不唯一.不一定取最小的N.注：