高等数学 第一节 对弧长的曲线积分

第九章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分第二节对面积的曲面积分第三节对坐标的曲线积分第四节对坐标的曲面积分第五节Green公式第六节Gauss公式第七节Stokes公式第一节对弧长的曲线积分对整体量进行分割、作和、取极限所产生的定积分与重积分已经带来了很大的方便,但是,有些实际问题与理论问题,这两种积分还解决不了,于是,又引进了曲线积分与曲面积分,它们与前者的基本思想是一致的.本章讨论的基本问题是两类曲线积分与两类曲面积分,重点是曲线积分与路径无关的问题以及Green(格林)公式与Gauss(高斯)公式.一、对弧长的曲线积分的定义二、对弧长的曲线积分的性质三、对弧长的曲线积分的计算四、对弧长的曲线积分的应用线密度为连续函数z=f(x,y),利用分割作和、取极限的方法求该构件的质量.一、对弧长的曲线积分的定义定义1如果连续曲线y=f(x)上到处都有切线,当切点连续变动时,切线也连续转动,就称此曲线为光滑曲线.设有一曲线形构件,它在xOy平面内是一条光滑曲线弧L,见图9-1.Lyxo图9-1A2MiM1iM1nMB),(ii1M在L上取点M1,M2,…,Mn-1,把L分成n小段,在上任意取一点(i,i),弧段的长度为si,记LyxoMi-1MiMi-1Mi=max{s1,s2,,sn}则该构件的质量为01lim,,niiiimfs图9-1定义2设L为xOy平面内的一条光滑曲线,z=f(x,y)为L上的连续函数,用分点M1,M2,…,Mn-1,把L分成n小段,在存在,则将此极限值称为函数f(x,y)在L上对弧长的曲线积分,记为其中,f(x,y)称为被积函数,L称为积分弧段.上任意取一点(i,i),si表示的长度,Mi-1MiMi-1Mi记=max{s1,s2,,sn},如果01lim,,niiiimfs,,Lfxyds定理1当f(x,y)在光滑曲线或分段光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分存在.,,Lfxyds二、对弧长的曲线积分的性质由对弧长的曲线积分的定义可知,定积分的所有性质都可以移植过来.性质1设k为常数,则设下面所涉及的对弧长的曲线积分都存在.,,.LLkfxydskfxyds性质2,,,,LLLfxygxydsfxydsgxyds性质3将L分成L1与L2,则其中L0表示L的长度性质412LL,,,Lfxydsfxydsfxyds0,LdsL性质5f(x,y)g(x,y),则,,LLfxydsfxyds性质6在L上若设mf(x)M,则其中L0表示L的长度性质7当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,必有L上某点(,),使得00,.LmLfxydsML0,,LfxydsfL三、对弧长的曲线积分的计算定理2设f(x,y)在曲线L上连续,L的参数方程为(t)其中(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数,且2(t)+2(t)0,则有公式(1)成立.(1)),(),(tytx22,,Lfxydsfttttdt设下面的函数和曲线都满足定理2的条件,则还有如下公式.积分上限要大于下限.设L:y=y(x)(axb),则有设L:r=r()(),则有设L:x=x(y)(cyd),则有设L:x=(t),y=(t),z=(t)(t),则有2,,1(2)bLafxydsfxyxyxdx2,,1(3)dLcfxydsfxyyxydy22,,cos(4)Lfxydsfrrrd222,,,,,,(5)Lfxyzdsfttttttdt定理3设f(x,y)和L满足定理2的条件,若f(x,y)=f(x,y),L关于轴对称,L1表示L的位于x轴上方的部分,则有若f(x,y)=f(x,y),则1,2,;LLfxydsfxyds,0.Lfxyds例1L是整条星形线解设L1:x=cos3t,y=sin3t,(0t/2),由定理3可知,于是22,,Lfxyxyds求222333xya0.Lxyds122224LLfxyxydsfxy22223333404cossincossinfatatatatdt原式22626404cossin3cossinatatatdt320820833sin81cos8112atta例2求L为圆x2+y2=ax(a0).解把L写成极坐标形式r=acos,-/2/2利用公式(4),有22Lxyds2222coscoscosaaad原式2222cos2ada例3求为螺旋线:x=acost,y=asint,z=bt,0t2.解利用公式(5),有222,xyzds22222220cossincoscossinatatbtaatatbtdt原式2222220ababtdt22222423abab为圆周:解直接利用(5)完成,计算量很大,注意到于是例4求,2dsx2222,(0)0,xyzaaxyzdszdsydsx222dszyx)(31222原式dsa231aa2312.323a设在xOy平面内有一条分布着质量的光滑曲线弧(或分段光滑曲线弧)L,在点(x,y)处的线密度为连续函数f(x,y),利用微元分析法不难推得下面各计算公式.四、对弧长的曲线积分的应用质量设重心为则,(6)Lmfxyds,xy1,,(7)1,,LLxxfxydsmyyfxydsm转动惯量如果曲线L是空间曲线,也可以得出类似的公式.式中Ix,Iy,Io分别表示质量弧L对于x轴、y轴、原点的转动惯量.2222,,,,xLyLoLIyfxydsIxfxydsIxyfxyds下面给出第一型曲线积分的几何意义.当f(x,y)0时,如果f(x,y)在平面曲线L上连续,L光滑或分段光滑,见图9-2曲线积分表示柱面的面积A,即,LfxydsLdsyxfA.),(图9-2L),(yxfzxyzo例5设有柱面被平面z=y所截,求所截得有限部分的柱面面积.解所求柱面面积为式中L为半椭圆其参数方程为于是2210,059xyyzLLAydszds2210,59xyy5cos,3sin,0xtytt2203sin5cos3sinAtttdt203sin54costtdt.5ln4159作业P841、2、3、5