高等数学 课后习题答案第七章

习题七1.在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4);D(3,4,0);E(0,4,3);F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2.xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答:在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3.x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4.求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）22223429s(2)2222(3)(4)29s(3)222(12)(03)(34)67s(4)222(24)(12)(33)35s.5.求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故22204(3)552s222(44)(30)(50)34xs2224(33)541ys2224(3)(55)5zs.6.在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则222222(4)1(7)35(2)zz解得149z即所求点为M（0，0，149）.7.试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC为等腰直角三角形.8.验证：()()abcabc.证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19.设2,3.uvabcabc试用a,b,c表示23.uv解：232(2)3(3)2243935117uvabcabcabcabcabc10.把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以ABc，BCa表示向量1DA,2DA,3DA和4DA.解：1115DABABDca2225DABABDca3335DABABDca444.5DABABDca11.设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M的投影为M，则1Prjcos6042.2uOMOM12.一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.解：设此向量的起点A的坐标A(x,y,z)，则{4,4,7}{2,1,7}ABxyz解得x=-2,y=3,z=0故A的坐标为A(-2,3,0).13.一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：（1）12PP在各坐标轴上的投影；（2）12PP的模；（3）12PP的方向余弦；（4）12PP方向的单位向量.解：（1）12Prj3,xxaPP12Prj1,yyaPP12Prj2.zzaPP(2)22212(74)(10)(35)14PP(3)123cos14xaPP121cos14yaPP122cos14zaPP.(4)12012312312{,,}141414141414PPPPeijk.14.三个力F1=(1,2,3),F2=(-2,3,-4),F3=(3,-4,5)同时作用于一点.求合力R的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）222||21421R214cos,cos,cos.21212115.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模，并分别用单位向量,,abceee来表达向量a,b,c.解：222||1113a222||2(3)538b222||(2)(1)23c3,38,3.abcaebece16.设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.17.向量r与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量er.解：因,故23cos1,33cos,cos33（舍去）则3333{cos,cos,cos}{,,}()3333reijk.18.已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且123MMMM，求向径OM的坐标.解：设向径OM={x,y,z}12{2,5,3}{3,2,5}MMxyzMMxyz因为，123MMMM所以，11423(3)153(2)433(5)3xxxyyyzzz故OM={111,,344}.19.已知点P到点A（0，0，12）的距离是7，OP的方向余弦是236,,777，求点P的坐标.解：设P的坐标为（x,y,z）,2222||(12)49PAxyz得2229524xyzz122226570cos6,749zzzxyz又122222190cos2,749xxxxyz122223285cos3,749yyyxyz故点P的坐标为P（2，3，6）或P（190285570,,494949）.20.已知a,b的夹角2π3，且3,4ab，计算：(1)a·b;(2)(3a-2b)·(a+2b).解：（1）a·b=2π1cos||||cos3434632ab(2)(32)(2)3624ababaaabbabb2223||44||334(6)41661.aabb21.已知a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),计算：（1）a·b;(2)(2a-3b)·(a+b)；（3）2||ab解：（1）46(2)(3)4238ab(2)(23)()2233ababaaababbb222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113aabb(3)222||()()2||2||abababaaabbbaabb3623849922.已知四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量AB在向量CD上的投影.解：AB={3，-2，-6}，CD={6，2，3}PrjCDABCDABCD22236(2)2(6)34.762323.设重量为100kg的物体从点M1(3,1,8)沿直线移动到点M2（1，4，2），计算重力所作的功（长度单位为m）.解：取重力方向为z轴负方向，依题意有f={0,0,-100×9.8}s=12MM={-2,3,-6}故W=f·s={0,0,-980}·{-2,3,-6}=5880(J)24.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.解:(a+3b)·(7a-5b)=227||1615||0aabb①(a-4b)·(7a-2b)=227||308||0aabb②由①及②可得：222221()1||||2||||4ababababab又21||02abb，所以1cos||||2abab,故1πarccos23.25.一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程.解：设动点为M(x,y,z)0{1,1,1}MMxyz因0MMn,故00MMn.即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4z-1=0即为动点M的轨迹方程.26.设a=(-2,7,6),b=(4,-3,-8),证明：以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,a－b,且a+b={2,4,-2}a-b={-6,10,14}又(a+b)·(a-b)=2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a+b)(a-b).27.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求：(1)a×b;(2)2a×7b;(3)7b×2a;(4)a×a.解：（1）211332375122111abijkijk(2)2714()429870ababijk(3)7214()14()429870babaabijk(4)0aa.28.已知向量a和b互相垂直，且||3,||4ab.计算：(1)|(a＋b)×(a－b)|；(2)|(3a＋b)×(a－2b)|.（1）|()()|||2()|ababaaabbabbabπ2||||sin242ab(2)|(3)(2)||362||7()|ababaaabbabbbaπ734sin84229.求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦.解：411334555111221abijkijk与ab平行的单位向量3()||3abeijkab||53513sin||||26266abab.30.一平行四边形以向量a=(2,1,－1)和b=(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为13labij，232labijk因为12|||2610|140llijk,12||10,||14ll所以1212||140sin1||||1014llll.即为所求对角线间夹角的正弦.31.已知三点A(2,-1,5),B(0,3,-2),C(-2,3,1)，点M，N，P分别是AB，BC，CA的中点，证明：1()4MNMPACBC.证明：中点M，N，P的坐标分别为31(1,1,),(1,3,),(0,1,3)22MNP{2,2,2}MN3{1,0,}2MP{4,4,4}AC{2,0,3}BC22222235233100122MNMPijkijk44444412208033220ACBCijkijk故1()4MNMPACBC.32.求同时垂直于向量a=(2,3,4)和横轴的单位向量.解：设横轴向量为b=(x,0,0)则同时垂直于a，b的向量为3442230000xxabijk=4xj－3xk故同时垂直于a，b的单位向量为1(43)||5abejkab.33.四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A,B,C,D.{0,1,2},{2,2,1}ABAD则由A，B，D三点所确定三角形的面积为11135|||542|222SABADijk.同理可求其