对两类常见电磁学问题的探讨

对两类常见电磁学问题的探讨陈颖0103在电磁学解题中，同学往往习惯套用公式，而忽略了其内在含义．这里给出了两类习题的基本解法，并对它们进行深入的探讨。摘要【一】导体电极分区介质问题中的重要性•在具体应用课本介绍的两种典型分区介质的解法时，同学往往忽略外层导体介质的存在。现以具体例题讨论其重要性如下。例题１．一球形电容器带电量为Q0，两极之间充满介电常数分别为ε1、ε2的两种介质。介质界面与球心共面（见下图）。求介质中的D与E的分布。〖常规解法〗由于介质界面与电场线重合，且属于一维对称情况，电场强度沿径向方向，因此运用公式有：ε0E(ε1+ε2)·2πr2=Q0(ｒ为到球心的距离)则210302rrQE0QdsD213012rrQ213022rrQε２区域中：D2=ε0ε2E=ε1区域中：D1=ε0ε1E=在上题中，用到了“介质界面与电场线重合时，”这一结论。这里，由于静电场的唯一性定理，可以给出证明。0EE由于与介质面重合，因而在介质界面没有法向分量，界面上极化电荷为零。由知：•在r1处：ε1区域•ε2区域EDP)(2)1()1(21301010111rrQEEDPr)(2)1(180cos2120101'11rQPnPr)(2)1()1(21302020221rrQEEDPr)(2)1(180cos2120202'21rQPnPr•１区：•２区：•r1表面电荷密度分布为：•１区：•２区：•两值相等。同理计算r2表面电荷分布可得：•１区：•２区：)(2212101110rQnD)(2212102220rQnD)(221210/1101rQ)(221210/2202rQ)(2212201rQ)(2212202rQ•可见，由于存在不同的电介质，极化面电荷σ／会出现差异，但是内外导体自由电荷分布的自动调整，会使内、外导体面处的总电荷分布是球形对称的。这样电场的分布必然是球形对称的。对于例题１这种解法行之有效。但我们设想去掉例题1中球外r2处导体，情况会变成什么样呢？例题2．如下图，只有r1处有带电Q0的导体球，其它条件同例题1。•如果我们仍按例题1来解，可算得r2上极化电荷：•１区：•２区：•因为r2处无自由电荷，故•总电荷分布不对称。)(2)1()(212201101/1rQnED)(2)1()(212202202/2rQnED/11/2221可见内球壳r1处的总电荷是均匀分布的，它们对空间场强的贡献是球形对称的。而在外球壳r2处总电荷密度不均匀，因此它们对场强的贡献不是球形对称的。内外层贡献叠加的总场强必然不是球形对称的。与计算所得场强分布矛盾。结论•该方法对例题2的情况（球外无导体壳）不适用。•例题1与例题2区别在于例题1有导体壳提供自由电子，是自由电子自动调整才使E球形对称。所以要具备电子调整的条件，使外壳成为等势面，这是此类习题的一特点。〖分析〗•题中介质是无限的，能否运用上述方法呢？答案是肯定的。因为无限远处也是一等势面，而且无限远处的电荷对系统不构成影响，由此解出Q=Eε0(1+ε)2πr2，符合要求。有由静电场中唯一性定理，可知这就是此题的唯一解。所以，无论是介质趋向无限远处，或外包导体，都可以用此法来求解。•同样的问题也出现在静磁场中。例题3.一介电常数为ε的半无限电介质界面上有一点电荷Q，求空间电场分布。例题4.在同轴电缆中填满磁导率为μ1和μ2的两种磁介质，各占一半空间，并介质面为通过电缆轴的平面。设通过电缆的电流强度为I，求解之中磁场的分布。【二】以能量转换与守恒原理为基础的楞次定律•电磁感应现象中感应电流方向的判定常用楞次定律，通常有“来拒去留”和“跟动”的说法。但在不同的介质中尚需做具体分析，以下是超导介质中的一例。例题5．条形磁铁沿导体圆环中心轴线进入后又穿出，分析环中感应电流方向及两个过程磁铁与环之间的相互作用。〖分析〗•磁场力一直对磁铁做负功，磁铁功能的减少向线圈中的电能转化，而电能最终又在电阻上成为焦尔热。上题中，“来拒去留”的方法的确适用，而且十分方便。但是不是一种放之四海而皆准的法则呢？例题6．如下图，用超导材料制成的闭合线圈放置在防磁装置中,可以认为不受周围其他磁场的作用，有一个小条形磁铁沿线圈的轴线从左向右穿过超导线圈，并远离线圈，开始时线圈中无电流。〖分析〗•超导体无电阻，其自身并不消耗电能，它是一个贮能环。这时，环中感应电流不再与电动势成正比，电流是逐渐积的。完全进入时，环中电流达到了最大。关于这一点，也可以用麦克斯韦电磁场理论来讨论：•a.当完全进入时，E=0，电子速度最大，i最强•b.离开过程，磁铁引起线圈中变化磁场产生逆时针的电场E／，电子开始受到与运动方向相反的电场力作用，但电子不会立即改变运动方向，其将做逆时针的减速运动，故电子方向还是与刚才的方向相同，只是强度小了。•进一步分析：进入过程，磁铁动能的减少转化为超导体环中的电能；离开过程，贮存在超导环中的电能又重新转化为磁铁的动能。符合能量守恒。综上，就电磁感应现象中的相互作用问题，用“来拒去留”的效果判定并不广泛成立。归根结底还是要依据能量的转化与守恒来判断.