随机变量及其分布-所有知识点集合

离散型随机变量及其分布律连续型随机变量随机变量及其分布函数第四章随机变量及其分布基本思想将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的可规定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化§4.1随机变量及其分布函数一、随机变量随机变量的定义设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一个样本点，均有唯一的实数与之对应，称为样本空间Ω上的随机变量。()X()XX()XR例1从装有三个白球（记为1,2，3号）与两个黑球（记为4,5号）的袋中任取两个球，设随机变量X表示取出的两个球中白球的个数。在以下两种情形下，X是如何表示的？（1）观察取出的两个球的颜色（2）观察取出的两个球的号码。解(1)试验的样本点和基本事件＝｛取出两个白球｝12＝｛取出两个黑球｝3＝｛取出一个白球与一个黑球｝12345123201X　　　＝｛取出第i号球与第j号球｝＝｛（i,j）｝(15)ij,ij(2)试验的样本点和基本事件,,,,31,3,450,5,5ijijijjjXij2　且1i＜　且1i且4i用随机变量表示事件{XL}如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则A=“出现偶数点”可表示为：{X=2}{X=4}{X=6}B=“出现的点数小于４”可表示为：{X4}或{X3}P(A)=P({X=2}{X=4}{X=6})P(B)=P(X4)=P(X3)A{|X()L}也可以是等式或是不等式。XL=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)•引入随机变量。随机事件由：样本点的集合——随机变量的取值区间•概率的确定——函数的计算•这个函数就是随机变量的概率分布函数随机变量样本点纯数学计算概率事件区间/数集二、随机变量的分布函数设X为一随机变量,则对任意实数x，{X≤x}是一个随机事件，称为随机变量X的分布函数定义域为（－∞，＋∞）；值域为［０，１］。F(x)是一个普通的函数！DistributionFunction分布函数的定义()xxFPX分布函数的性质单调不减性非负有界性0≤F(x)≤1()lim()0,()lim()1xxFFxFFx12xx若12,()()FxFx则()FPX不可能事件()FPX必然事件右连续性000(0)lim()()xxFxFxFx反之，具有上述四个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该四个性质是分布函数的充分必要性质。规范性21()1Fxx能否作为某一随机变量的分布函数？不是因为lim()0xFx函数21(0)()11(0)xGxxx可作为分布函数例2设一袋中，依次有标着－1、2、2、2、3、3数字的6个球，从中任取一球，令X表示所取球上的数字，求X的分布函数。解X可能取的值为－1,2，3，且1(1)6PX1(2),2PX1(3),3PX当x＜-1时，｛X≤x｝是一个不可能事件，故()()0,FxPXx当-1≤x2时，｛X≤x｝={X=－1}，故()()(1)FxPXxPX1,6当2≤x3时，｛X≤x｝={X=－1}∪{X=2}，故()()(1)(2)FxPXxPXPX2,3当3≤x时，｛X≤x｝是一个必然事件，故()()1,FxPXx即，X的分布函数为0,1,1/6,12,()2/3,23,1,3.xxFxxx()()FxPXx引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。分布函数表示事件的概率P(X≤b)=F(b)P(aX≤b)=F(b)﹣F(a)P(Xa)=1﹣P(X≤a)=1-F(a)P(Xb)P(X≥b)P(X＝b)=F(b-0)=1-F(b-0)=F(b)－F(b-0)§4.2离散型随机变量称此式为X的分布律（列）或概率分布（Probabilitydistribution),1,2,kkPXkxp设离散型随机变量的所有可能取值是，而取值的概率为X12,,,,nxxxkxkp即一、离散型随机变量的分布律随机变量X的概率分布全面表达了X的所有可能取值以及取各个值的概率情况p1，p2，…pK…x1，x2，…xk，…X离散随机变量分布律的表格表示法公式法,1,2,kkPXxpk表格法1)01,2,kpk12)1kkp性质例3设离散型随机变量X的分布律为P（X=xi）=pii=1、2、…其中0＜p＜1，求p值。解：11()iiPXx　1iip1pp1.2p　P461例4设袋中有5个球，编号分别为1、2、…、5，从中同时取出3个球，以X表示取出球的最小号码，求X的分布律与分布函数。解：X的所有可能取值为1,2，3，且由古典概率公式可得(1)PX35C24C3,5(2)PX35C23C3,10(3)PX35C11,10即X的分布律为X123P（X=xi）0.60.30.1故，X的分布函数()()FxPXx1,12,23,3.xxxx0,(1)PX0.6,(1)(2)PXPX0.9,1,一般地，对离散型随机变量X～P（X=xk）＝pk,k＝1,2,…其分布函数为:()kkkxxFxPXxpX-123pi1/61/21/3例2中，得到X的分布律为求取得的球上的数字是非负的概率∴P(0≤X)=P(X=2)+P(X=3)分布律确定事件的概率∵｛取得的球上的数字是非负的｝＝{X≥0}＝{X=2}∪{X=3}=1/2+1/3=5/6二、几种常见的离散型分布0-1分布(二点分布)1－ppP01X则称X服从参数为p的二点分布或(0-1)分布,△背景：样本空间可划分为两种结果的情况都可以用两点分布来描述。如：上抛一枚硬币。△定义：若随机变量X的分布律为:0,1,2...,(1);kknknPXkCpknp其中0p1,则称X服从参数为n,p的二项分布(也称Bernoulli分布）,记为X～B(n,p)在n重贝努利试验中,若以X表示事件A发生的次数,则X可能的取值为0,1,2,3,…,n.随机变量X的分布律二项分布Binomialdistribution例6从学校乘汽车去火车站须经过3处红绿灯，设各处红绿灯的出现相互独立，且每处遇红灯的概率都是0.25,用X表示遇到红灯的次数，求X的分布律及至多遇到一次红灯的概率。解：此例遇红灯即为三重贝努利试验，故1XB(3,),4k3kk3k0,1,213PXkC44,3;所以，即X的分布律为27642764964164P（X=xi）0123X故至多遇到一次红灯的概率P（X≤1）=P（X=0）+P（X=1）2732由于元件的总数很大，而抽取的数相对较小，故可当作是有放回抽样来处理。这时可认为每只元件是一级品的概率是p=0.2,不是一级品的概率是1-p=0.8，而元件之间的检查是相互独立的，故可将检查一只元件是否为一级品看作是一次伯努利试验，检查20只元件相当于是做20重伯努利试验。现设X为20只元件含一级品的只数，则~(20,0.2)XBk20kk20PXkC0.20.8,k0,1,,20例7按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只，问20只元件中恰有k只(k=0,1,…，20)为一级品的概率是多少？故例8设保险公司的某种人寿保险有1000人投保，每人一年内的死亡率为0.005，求这1000人中死亡人数不超过10人的概率。解：设X为这1000人中一年内的死亡数，则X～B（1000，0.005）,故所求概率为P（X≤10）=101000010000.0050.995kkkk≈0.986.例9某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。解：记X为击中的次数，则X~B(400,0.02)故所求概率为PX21PX1PX01399040040040010.020.980.98CC0.9972结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则至少成功一次的概率为400110=10.990.9820PXPX成功次数服从二项概率B(400,0.01)有百分之一的希望，就要做百分之百的努力泊松分布Poissondistribution若随机变量X的分布律为:,0,1,2...!kPXkekk其中0,则称X服从参数为的泊松分布X～P()•服务台在某时间段内接待的服务次数X；•候车的旅客数Y;•矿井在某段时间发生事故的次数;•显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；•单位体积空气中含有某种微粒的数目体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数可以由观测值的平均值求出。举例例10在一个放射性物质的试验中，共观察了N=2608次，每次观察的时间为7.5秒，并记录到达指定区域内的质点数。放射粒子数i观察次数Ni频率fi概率pi0123456789≥10572033835255324082731394527160.02190.07780.14690.20130.20400.15640.10470.05330.01720.01040.00610.02090.08070.15620.20150.19490.15090.09730.05380.02600.01120.0066总计260811观察到有i个质点的次数为Ni,则iiNfN表示有i个质点的频率，而pi=P(i;3.870)表示参数为3.870,Xi的概率例11设每分钟通过某交通道口的汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内无汽车通过与恰有一辆汽车通过的概率相等，求一分钟内至少有两辆汽车通过的概率。解：设X～P（λ），由P（X=0）=P（X=1），知01,0!1!ee故有λ=1，因此所求概率为P（X≥2）=1―P（X=0）―P（X=1）0110!1!ee112.e泊松定理实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式ekppCkknkkn!)1(二项分布的泊松近似ThePoissonApproximationtotheBinomialDistributionnp几何分布若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布。P(X=k)=1,1,2,kpqk其中p+q=1,0p1例12在一个贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p(0p1),设试验进行到第X次才出现成功，求X的分布律。X的取值为1,2，…，且相应的概率为P47111,1,2,kPXkpqk()()xFxftdt§4.3连续随机变量定义设X为一随机变量，分布函数为F(x),若存在非负实函数f(x),使对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.Probabilitydensityfunctionp.d.f.一、概率密度函数的定义二、概率密度函数的性质(()),0,xfx1、非负性()1fxdx2、规范性()fx()1PX可以根据这两个性质来判断一个函数是不是