导数压轴满分之同构式大法

学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数239专题7指对跨阶系列二之同构式构造【例1】对于任意的0,x不等式log(0,1)xaaxaa且?恒成立，则a的取值范围是．解：lnlnlnlnloglnlnlnlnxxaxaxaxaxexaexxexa?拮=，故只需lnlnlnlnxxaxax?，由于()lnxfxx=在()()0,,,ee?ク，故()()max1fxfee==，1lnae\，即1eae.【例2】（2018•长郡月考）已知函数1ln)(xaexfx，若0)(xf恒成立，则实数a的取值范围是．解：由题意得：lnlnlnlnxxxexaeexaexeexexaexeeex侈侈壮恒成立，则需要满足1lnln1aexexxì³ïí?+ïî，显然1lnxx-?恒成立，故只需1ae³，即1ae³.【例3】对0x，不等式0lnln22axaex恒成立，则实数a的最小值为（）A．e2B．e21C．e2D．e21解：由题意得：ln222lnln2lnln2lnxaxxxxxxaexaxeexaaaa?蕹=蕹，令xta=，2lnatt³此时要构造过原点的切线放缩模型1lntte£，故12ae³，即12ae³.【例4】（2018•武邑期中）设实数0，若对任意的(0,)x，不等式0xlnxe…恒成立，则的取值范围是．解：lnlnn0lxxxlnxexexxex…，即lnxxl³恒成立，1el\?.秒杀秘籍：同构式问题构造xex与xlnx我们发现，()xfxxe=在()1,-+キ，而()lnfxxx=在10,e骣琪¯琪桫，在1,e骣琪+キ琪桫，在考查同构式的类型中，构造xxe来求取值范围，构造lnxx来判断零点个数及分布；同构式模型：①1lnlnlnlnloglnlnlnlnlnlnexxaxaxaxaxexaexxexxaxaea?拮=??，②lnln1lnlnlnlnxxxxxeexxexxexxxellllllll??=??；③()()()()ln1ln11ln1ln1xaxeaxxxexaxx+++++=++?+学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数240【例5】（2019•衡水金卷）易知0a，不等式1ln0axxeax+??对任意的实数1x恒成立，则实数a的最小值是（）A．e21B．e2C．e1D．e解：由题意得：1ln1ln1111ln0lnlnlnaaxxxaaaaaaxxeaxxeexxxxxx+-?侈?=蕹对1x恒成立，此时maxlnxax骣琪?琪桫，即ae?，选D.【例6】（2019•武汉调研）已知函数()()()ln0xfxeaaxaaa=--+，若关于x的不等式()0fx恒成立，则实数a的取值范围为（）A．],0(eB．2,0eC．],1[2eD．),1(2e解：由题意可知：()()()lnlnlnln11ln1ln1xxxaeeaaxaaaxexaxxa---?--?--+-，即构成同构式()()ln1lnlnln1xxaexaex--+-+-，只需()()lnln1ln12lnxaxxxa--?-?，2ae\，故选B.【例7】已知方程2lnlnlnxxaaax=-有3个实根，则实数a的取值范围是．解：构造lnlnaaxxxx=，根据定义域可知0a，如图，当1x时，ln0yxx=，此时，仅存在12axx=，使1122lnlnaaxxxx=，此时只存在两个实根，不合题意；当01x时，则一定存在12axx=或者13111,0xxee（偏移情况），考虑到极值是左偏的，故10,xe骣琪Î琪桫时，(),aaex??，定义域要求完全覆盖，故1aee，即21ae.【例8】（2019•榆林一模）已知不等式1xekxlnx…，对于任意的(0,)x恒成立，则k的最大值．解：要取等，看系数，11111xxexexkxxkxlnxx，由于取等条件不一，且并未消除常数项，则此放缩法失效，考虑消除常数项1-，故构造ln1xx?取等条件是1x=，此时取等的xeex³，故秒杀秘籍：放对再放指，常数是关键关于指对跨阶，由于xe属于递增过快，若不是存在lnln1xxxxeexx+=?+或者lnln1xxxeexxx-=?+之类的可以直接消除对数的，一般考虑对递增较慢的lnx进行放缩，但在区间()0,1内重点考虑切线放缩，通常放缩有：①ln1xx?；②lnxxe£（取等条件xe=）；③111ln1ln1ln1xxxxxx?蓿-蕹-（取等条件1x=）；④1ln1ln1xxxxx?蕹-；⑤ln1ln1ln2xxexexxex?蓿-蓿-（取等条件1xe=）；⑥()()()2312233112243327xxxxxxxexeexxxeexeeexxxeeeexx取等条件取等条件取等条件-ìï侈?ïïï?蕹邹?íïïï匙蕹=ïî；⑦()210xexx??（取等条件0x=）；⑧()()210xeexxx?-?（取等条件0xx以及=1=，⑦和⑧根据找基友证明）学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数241()1exkx-?，即1ke?．【例9】（2019•重庆巴蜀月考）已知()lnxefxaxx=-．（1）当0a=时，求函数()fx在()0,+?上的最小值；（2）若202ea?，求证：()0fx.解：（1）0a=时，()xefxx=，()2xxxeefxx-¢=，当()0,1xÎ时，()fx¯，当()1,x??时，()fx­，故()()min1fxfe==；（2）思路：此题若放缩xex，定会遇到很多问题，所以根据“放对再放指”的原理，由于()2ln2xeefxxx-，先放lnx，由于此题无常数项，故不采用ln1xx?来增加常数项，由于，22e的出现暴露了需要“降次”，故试用lnxxe£，则可得()02xeexfxx-，此时只需证明22xeex，此时再利用“指数找基友”即可证明不等式，或者放缩成22242xeeexx?也可以；证明：202ea?，由于lnx­，故()2lnln2xxeeefxaxxxx=--，故只需2ln02xeexx-，令()lnxgxxe=-，()110gxxe¢=-=，当xe=时()maxln0egxee=-=，即lnxxe£，故只需证202xeex-，只需证22xexe令()2xexhxe=，()()2xexxhxe-¢=，故()hx在()0,2­，在()2,+ク当2x=时，()()2min224ehxh==，即证．【例10】（2018•甘肃会宁）已知函数(),()ln1xefxgxxx．（1）求函数()fx的单调区间；（2）证明：3()()xfxgx解（1）参考例9；（2）思路1：第（1）问不会白给，故利用“分而治之”，此过程一定要有凹凸函数的反转，构造()()3ln1xexfxhxxx+==，利用()()()232minmax3efxehxhe-===；思路2：“放对后放指”，要证明2ln1xxex+，只需证明211ln1xxexxx-+=+，故只需证明1xxe显然失败，失败区间在()0,1，故思考取等区间在()0,1上的切线放缩式子，构造ln1exex?，取等条件为1xe=，即ln2xex?，只需证21xxeex-，这时需要涉及找点的知识，虽然此式已经构造成功，但这里不详叙述；构造2ln1xxex+利用切线放缩，过原点切线xeex³，22ln13exxx+³，故22ln13xexeexxx+??恒成立．达标训练1．（2018•广东期末）已知函数()fx的定义域是R，其导函数是()fx，且()0fx…，则满足不等式)1(1ln)(lnfttf的实数t的集合是（）A．),[eB．）,1[C．],0(eD．],[1ee2．（2019•沈阳一模）已知函数()2fxalnxx，若不等式(1)2xfxaxe在(0,)x上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．2a„B．2a…C．0a„D．02a剟学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数2423．（2019•全国Ⅰ卷调研）设实数0m，若对任意的xe，若不等式2ln0mxxxme恒成立，则m的最大值为（）A．e1B．3eC．e2D．e4．（2018•衡水中学）已知0x是方程222ln0xxex+=的实根，则关于实数0x的判断正确的是（）A．0ln2x³B．01xe£C．002ln0xx+=D．002ln0xex+=5．（2019•长沙测试）若0x，恒有()112lnaxaexxx骣琪+?琪桫，则实数a的最小值为（）A．21eB．22eC．1eD．2e6．（2018•南通期末）已知函数()fx的定义域为(0,)，()fx是函数()fx的导函数，对任意的0x，()()0fxxfx恒成立，则关于实数t的不等式2(2)2(1)ftttft的解集是．7.（2018•芮城期末）已知函数()1xfxaelnx．（1）设2x是()fx的极值点，求a的值并求2()()xgxfxlnxe的单调区间；（2）若不等式()0fx…在(0,)恒成立，求a的取值范围．8.（2018•浙江期末）已知函数()xefxx．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若22ae…，求证：()afxlnx．学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数2439.（2018•德阳模拟）已知函数()1xfxemx．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若曲线()fx在点(0,0)处的切线垂直于直线2yx，求证：当0x时，()2322fxlnxln．10.（2018•荆州一模）已知函数()(1)xmfxexlnxmx，mR，()fx为函数()fx的导函数．（1）若1m，求证：对任意(0,)x，()0fx…；（2）若()fx有两个极值点，求实数m的取值范围．11.（2018•新课标Ⅰ）已知函数()1xfxaelnx．（1）设2x是()fx的极值点，求a，并求()fx的单调区间；（2）证明：当1ae…时，()0fx…．学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数24412.（2014•全国卷I）设函数xbexaexfxx1ln，曲线xfy在点1,1f处的切线方程为21xey.（1）求,ab；（2）证明：1xf.