22章 二次函数复习

二次函数复习课一、二次函数的定义1.形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数。2.二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）。3.二次函数顶点式：y=a（x-h)2+k（a≠0）。4.二次函数的交点式：y=a（x-x1)(x-x2)（a≠0)。二、函数的图象及性质：抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值增减性y=ax2y=ax2+ky=a(x–h)2y=a(x–h)2+ka＞0向上a＜0向下a＞0向上a＞0向上a＞0向上a＜0向下a＜0向下a＜0向下y轴直线x=h直线x=hy轴(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)二次函数的图象是一条。抛物线y=ax2y=ax2+ky=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移结论:一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同。各种形式的二次函数的关系（平移）二次函数y=a(x－h)2+ky=ax2+bx+c开口方向对称轴顶点坐标最值a＞0a＜0增减性a＞0a＜0三、二次函数的y=ax2+bx+c的性质：a＞0开口向上a＜0开口向下x=h(h,k)y最小=ky最大=kabx2abacab44,22y最小=abac442y最大=abac442在对称轴左边，x↗y↘；在对称轴右边，x↗y↗在对称轴左边，x↗y↗；在对称轴右边，x↗y↘二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根只有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根b2–4ac0b2–4ac=0b2–4ac0四、二次函数与一元二次方程注意：y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点的坐标为（0，c).由此可得：当c0时，抛物线与y轴相交于正半轴；当c=0时，抛物线过原点；当c0时，抛物线与y轴相交于负半轴。c0c0c=0考点1：二次函数的定义1、（武汉）下列函数中，是二次函数的是（A）A、y=8x2+1B、y=8x+1C、y=x8D、y=28x+12、（南充）二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是（D）A、3B、5C、-3和5D、3和-53、（锦州）下列函数关系中，是二次函数的是（D）A、在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B、当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C、等边三角形的周长C与边长a之间的关系D、圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系考点2：二次函数的图象1、（2011•湘潭）在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（）ABCD4、（2010•攀枝花）如图所示，是二次函数y=ax2-bx+2的大致图象，则函数y=-ax+b的图象不经过（A）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限5、（2010•丽水）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（C）A、B、C、D、考点3：二次函数的性质1、（2011•永州）由二次函数y=2（x-3）2+1，可知（C）A、其图象的开口向下B、其图象的对称轴为直线x=-3C、其最小值为1D、当x＜3时，y随x的增大而增大5、（2011•广安）若二次函数y=（x-m）2-1，当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（C）A、m=1B、m＞lC、m≥1D、m≤16、（2011•广州）下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（D）A、y=x2B、y=x-1C、D、7、（2011•北京）抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为（A）A、（3，-4）B、（3，4）C、（-3，-4）D、（-3，4）考点4：二次函数图象与系数a、b、c的关系1、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试用“、、=”填空：（1）a0,b0,c0;（2）a+b+c0;（3）a-b+c0;（4）△0；（5）0.-1xy011bac考点5：二次函数图象上点的坐标特征1、（2011•陕西）若二次函数y=x2-6x+c的图象过A（-1，y1），B（2，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（B）A、y1＞y2＞y3B、y1＞y3＞y2C、y2＞y1＞y3D、y3＞y1＞y22、（2011•牡丹江）抛物线y=ax2+bx-3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（C）A、-2B、2C、15D、-153、（2010•咸宁）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过A（-2，0）、O（0，0）、B（-3，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A、y1＞y2B、y1=y2C、y1＜y2D、不能确定考点6：二次函数图象与几何变换1、（2011•青海）将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（B）A、y=2x2+2B、y=2（x+2）2C、y=（x-2）2D、y=2x2-22、（2011•莆田）抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（B）A、向上平移5个单位B、向下平移5个单位C、向左平移5个单位D、向右平移5个单位3、（2011•河池）把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为（B）4.抛物线y=x2向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得到抛物线(一般式)。1162xxy2)3(2xy考点7：二次函数的最值1、（2011•肇庆）二次函教y=x2+2x-5有（D）A、最大值-5B、最小值-5C、最大值-6D、最小值-62、（2011•呼和浩特）下列判断正确的有（B）①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形；②中心投影的投影线彼此平行；③在周长为定值π的扇形中，当半径为4时扇形的面积最大；④相等的角是对顶角的逆命题是真命题．A、4个B、3个C、2个D、1个6、（2007•河池）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，则（D）A、a＞0，b2-4ac=0B、a＜0，b2-4ac＞0C、a＞0，b2-4ac＜0D、a＜0，b2-4ac=07、（2006•南充）二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac且x=0时y=-4，则（C）A、y最大=-4B、y最小=-4C、y最大=-3D、y最小=-38、（2011•日照）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=2时，四边形ABCN的面积最大．考点8：待定系数法求二次函数解析式1、（2011•泰安）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353则当x=1时，y的值为（）A、5B、-3C、-13D、-272、（2004•荆州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，10）和（2，7），3a+2b=0，则该抛物线的解析式为y=2x2-3x+5．3、已知某二次函数图象上有)31(，，)31(，，)62(，三个点，求它的函数解析式。解：设函数解析式为cbxaxy2由已知，函数图象上有)31(，，)31(，，)62(，三个点，得62433cbacbacba解这个方程组，得1a，0b，2c∴函数解析式为22xy已知某二次函数的顶点坐标为)11(，，且过点)02(，试确定它的函数解析式。解：∵二次函数的顶点为)11(，∴可设二次函数解析式为1)1(2xay又函数过点)02(，∴1)12(02a解得1a∴二次函数的解析式为1)1(2xy即xxy224、5、如图，抛物线经过下列各点，试求它的函数解析式。-13-2xy0解：设函数的解析式为：y=a(x-x1)(x-x2),则x1=-1,x2=3,于是y=a(x+1)(x-3).∵抛物线过y轴上的点（0，-2），∴把这点坐标代入上面式子，得-2=-3a∴a=2/3.∴所求函数解析式为：y=2/3·(x+1)(x-3).即234322xxy考点9：二次函数的三种形式1、（2010•北京）将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（D）A、y=(x+1)2+4B、y=(x-1)2+4C、y=(x+1)2+2D、y=(x-1)2+22、（2010•安徽）若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x-2）2+k，则b、k的值分别为（D）A、0，5B、0，1C、-4，5D、-4，13、（2011•台湾）用配方法将y=-2x2+4x+6化成y=a（x+h）2+k的形式，求a+h+k之值为何？（A）A、5B、7C、-1D、-2考点10：抛物线与x轴的交点1、（2011•玉溪）如图，函数y=-x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），对称轴是x=-1，在下列结论中，错误的是（C）A、顶点坐标为（-1，4）B、函数的解析式为y=-x2-2x+3C、当x＜0时，y随x的增大而增大D、抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0）2、已知抛物线y＝－x2－2x＋m.(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______0；（填“＞”、“＝”或“＜”）(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______0；（填“＞”、“＝”或“＜”）(4)若抛物线与x轴有两个交点，则m______。(3)若抛物线与x轴有一个交点，则m_______.＞＝＞－1＝－1考点12：二次函数与不等式（组）1、（2011•无锡）如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=xk的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式xk+x2+10的解集是()【D】A．x1B．x－1C．0x1D．－1x01．如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（）A．-1≤x≤3B．x≤-1C．x≥1D．x≤-1或x≥32．（2014尤溪县质检）直线y1=x+1与抛物线y2=-x2+3的图象如图，当y1＞y2时，x的取值范围为（）A．x＜-2B．x＞1C．-2＜x＜1D．x＜-2或x＞13．（2013德州一模）如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于O（0，0）和A（3，2）两点，则不等式ax2+bx＜kx的解集为．4．（2014龙东地区）如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．考点13：根据实际问题列二次函数关系式1、（2010•丽水）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A、y=B、y=C、y=D、y=2.如图，矩形的长是4厘米、宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，那么面积增加y平方厘米．试写出y与x的关系式．4cm3cmx27yxx3.如图，一块矩形草地长100米、宽80米，要在中间修筑两条互相垂直的宽为x米的小路，这时草地的面积为y平方米．试写出y与x的关系式．小路小路21008010080yxxx21808000xx考点14：二次函数的应用1、（2011•株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水