阶电路的全响应

4.5一阶电路的完全响应4.5.1电路在外加激励和动态元件初始储能的共同作用下产生的响应称为全响应。本节讨论一阶电路的全响应，介绍一阶电路在直流电源激励下全响应的实用计算方法——三要素法。由于一阶电路只含有一个动态元件(电容或电感)，因此可应用戴维宁定理，将原电路简化等效成如图4.5-1所示的两种形式。根据KL及元件VCR，分别列出以电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为响应变量的电路方程，整理后有图4.5-1一阶电路sLLsCCuLiLRtiuCRuCRtu1dd11dd000如果用f(t)表示激励us,用y(t)表示响应uC或iL,那么可将上述)()(1d)(dtbftytty(4.5-1)式中，b为常数；τ为电路的时间常数，对RC电路，τ=R0C,对于RL电路有τ=L/R0。式(4.5-1)是一阶非齐次微分方程，它与前面讨论的零状态响应求解方程形式相同，求解过程也相同，只是两种情况下，电路初始储能或响应的初始条件不同，方程解中积分常数A具有不同数值而已。我们知道，式(4.5-1)的解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成。考虑到微分方程的特征根，齐次解(A为积分常数)，因此，全响应y(t)可表示为1pthAtye)()(e)()()(tyAtytytyptph(4.5-2)设全响应y(t)的初始值为y(0+)，将它代入上式，解得A=y(0+)-yp(0+)再将A代入式(4.5-2)0e)]0()0([)()(tyytytytp(4.5-3)根据不同观点，电路全响应可按以下几种方式进行分解。式(4.5-3)中等号右边第一项(即特解)的函数形式取决于激励信号的变化规律，称为强迫响应，可认为是在激励的“强迫”下，电路所作出的响应。第二项(即齐次解)按指数规律变化，变化的快慢程度取决于电路微分方程的特征根，该顶函数形式与激励无关，故称为自由响应。由于特征根仅与电路的结构和元件的参数有关，因此自由响应反映了电路的固有特性，又称它为固有响应。这样，电路全响应可以分解为强迫响应和自由响应两种分量：全响应=强迫响应+自由响应即y(t)=yp(t)+yh(t)(4.5-4)对于实际中的多数动态电路，换路后，在一定条件下它会从初始工作状态开始，经历一个瞬态过程后进入新的稳定工作状态。我们把响应中暂时存在，随时间t的增长最终将衰减为零的分量称为暂态响应。暂态响应反映了电路瞬态过程的演变情况。响应中随时间t的增长而仍稳定存在的分量称为稳态响应。在直流激励下，稳态响应为常数，是换路后电路的稳态解。按这种分解方式，电路全响应亦可表示为：全响应=稳态响应+暂态响应即y(t)=ys(t)+yr(t)(4.5-5)如果除独立电源外，视动态元件的初始储能为电路的另一种激励，那么根据线性电路的叠加性质，电路响应是两种激励各自作用时响应的叠加。也就是说，根据响应引起原因的不同，可将全响应分解为零输入响应(由初始储能产生)和零状态响应(由独立电源产生)两种分量：全响应=零输入响应+零状态响应y(t)=yx(t)+yf(t)(4.5-6)上述电路全响应的不同分解方式，为电路响应的分析计算提供了不同途径和方法。4.5.2在式(4.5-3)中，我们给出了一阶电路在一般信号f(t)激励下响应的计算公式，本节在上述基础上，进一步推导出直流激励下一阶电路响应的实用计算方法，即三要素法。当激励f(t)为直流时，微分方程的特解是常数。令yp(t)=C,显然有yp(0+)=C,将它们代入式(4.5-3)，得tCyCtye])0([)((4.5-7)通常情况下，电路时间常数τ＞0，称这种电路为正τ电路。对于正τ电路，当t→∞时，由上式可解得)()(ytyIimCt将C代入式(4.5-7)求得激励为直流时一阶电路的响应为0)]()0([)()(teyyytyt自由响应暂态响应强迫响应稳态响应(4.5-8)图4.5-2一阶电路的响应1.初始值y(0+)根据4.2.2节讨论，(1)计算t=0-时刻电容电压uC(0-)或电感电流iL(0-)(2)由换路定律求得独立初始值uC(0＋)=uC(0-)或iL(0+)=uC(0-)(3)画t=0+时等效电路。依据置换定理将电容元件用电压为uC(0＋)的电压源代替，电感元件用电流为iL(0+)的电流源代替。(4)求解0+等效电路得到非独立初始值。2.稳态值y(∞)由于换路后t→∞时电路已进入稳态。在直流激励下，电路中电流、电压不再变化，故此时电容相当于开路，电感相当于短路。依此画出t=∞时的等效电路(为电阻性电路)，并求解得到响应的稳态值y(∞)。3.时间常数τ对于一阶RC电路，其时间常数τ=R0C；对于一阶RL电路，其时间常数τ=L/R0。这里R0是换路后从动态元件C或L看过去的戴维宁等效电阻。例4.5-1如图4.5-3(a)所示RC电路，已知直流电源电流为Is,电容电压uC(0-)=U0。t=0时开关S闭合，求换路后的电容电压uC(t)，指出其暂态响应、稳态响应、零输入响应和零状态响应，并绘出相应的波形。解开关S闭合后，电容电压uC由电流源Is和电容的初始储能共同作用产生，故为全响应。由于电容电压的初始值uC(0＋)=uC(0-)=U0，稳态值uC(∞)=RIS和电路时间常数τ=RC，代入三要素公式，可得0e)(e)()0()(0tRIURIuuuuRCtsstCCCC暂态响应稳态响应(4.5-9)式(4.5-9)零状态响应零输入响应)e1(e0RCtsRCtCRIUut≥0(4.5-10)式中等号右端第一项是电流源为零时，由电路初始储能产生的响应，故是零输入响应。第二项是初始储能为零时，仅由电流源激励产生的响应，故为零状态响应。如前所述，将全响应分解为零输入响应和零状态响应两部分，能清楚看出激励与响应之间的因果关系。而分解成暂态分量和稳态分量，主要体现了电路的不同工作状态。具体地说，在换路后，电路将经历(3～5)τ时间的瞬态过程，然后进入新的稳定工作状态。电压uC及其储分量的波形如图4.5-3(b)所示，图中假设U0＞RIs。图4.5-3电压uC及其储分量的波形例4.5-2如图4.5-4(a)电路已处于稳态，t=0时开关S由a打向b,求t≥0+时电压u(t)的零输入响应ux(t)、零状态响应uf(t)及全响应u(t)，并画出它们的波形图。图4.5-4例4.5-2用图解设电流iL的参考方向如图(a)中所标。由题意知t=0-时电路已处于直流稳态，L相当于短路，所以应用电阻并联分流公式，A366//636//6_)0(LiiL(0+)=iL(0-)=3A(1)计算零输入响应ux(t)。当t≥0+时，令输入为零(将12V电压源短路)的电路如图(b)所示。显然容易求得3个要素分别为A3)0()0(LLxiiiLx(∞)=0s2136//63代入三要素公式(4.5-8)，求得Ae3e)]()0([)()(21ttLxLxLxLxiiitit≥0+再应用电阻并联等效及欧姆定律，得Ve9)(6//6)(2tLxtitut≥0+(2)计算零状态响应uf(t)。当t≥0+时，设电感元件上储能为0，即初始状态为零(iLf(0+)=0)，仅由t≥0+时的输入作用的电路如图(c)所示。因iLf(0+)=0(t=0+时刻L相当于开路)所以V612666)0(fu当t=∞时，电路又达新的直流稳态，电感又视为短路，于是应用电阻串并联等效及分压关系求得V3126//366//3)(fu图(c)中时间常数与图(b)中时间常数相同，τ仍为。所以再次代入三要素公式(4.5-8)，得s21Ve33e)]()0([)()(21ttffffuuutut≥0+(3)计算全响应u(t)。将零输入响应ux(t)与零状态响应uf(t)相加，便得全响应：Ve33e)]()0([)()(21ttffffuuutut≥0+画ux(t)、uf(t)、u(t)的波形图如图(d)例4.5-3含受控源电路如图4.5-5(a)所示，t＜0时，开关S位于b处，电路已经稳定。t=0时，开关由位置b切换至位置a，求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t)。解(1)化简电路。为简化计算，将电路中含受控源部分用戴维宁电路等效，如图4.5-5(b)所示电路，由KVL得12'4')62(ii解得i′=1A故开路电压为V10'10'4'6ociiiu将图4.5-5(b)中a、c端短接并设isc如图4.5-5(c)电路所示，由于A104664sciii等效电阻R0为11010scoc0iuR画出原电路的等效电路如图4.5-5(d)所示。图4.5-5例4.5-3电路(2)计算电压uC(t)。由图4.5-5(d)uC(0+)=uC(0-)=-5VuC(∞)=10Vτ=R0C=1×0.1=0.1s利用三要素公式，得电压uC为uC(t)=10+(-5-10)e-10t=10-15e-10tVt≥0(3)回到原电路4.5-5(a)，求出电流Ae5.71212)(10tCutit≥0画出uC和i的波形如图4.5-6(a)、(b)所示。图4.5-6uC和i的波形例4.5-4如图4.5-7(a)所示稳态电路，t=0时开关S闭合，求t≥0时的电流i(t)。解换路前这是一个二阶电路。换路后，开关支路是短路支路，因此由置换定理可把电路等效成两个独立部分。短路支路左侧是一阶RC电路，右侧是一阶RL电路，可先用三要素法分别计算ia(t)和iL(t)，然后叠加求得i(t)。图4.5-7例4.5-4使用电路(1)求初始值y(0+)。t=0-时刻的等效电路如图4.5-7(b)所示，由图可得)0(V82_)0(2_)0(2_)0((0_)A1221_)0(),(0A2_)0(332CLCLLuiiuiiiit=0+时的等效电路如图4.5-7(c)i2(0+)=2-i1(0+)对回路A排KVL方程0)]0(2[48)0(611ii解得i1(0+)=1.6AA428)0(3iA6.5528)0()0()0(31iiia而所以(2)求稳态值y(∞)。t→∞时的等效电路如图4.5-7(d)所示，由图可得A2)(,A122)(aLii(3)求时间常数τ。换路后，所有独立源均置为零，从动态元件两端断开，等效电路如图4.5-7(e)所示，对于RC电路，s1,35)64//(2o111oCRR对于RL电路，s21,2o22o2RLR由三要素公式得A)e6.32(A)e31(2tatLiit≥0t≥0最后，由KCL可得t≥0i=iL+ia=(3-3e-2t+3.6e-t)A