中南大学概率论第1章第4讲

概率论中南大学数学院概率统计课程组设Ω为试验E的样本空间，若①试验Ω的样本空间是直线上某个区间，或者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点;②每个样本点发生具有等可能性;则称E为几何概型。几何概型(等可能概型的推广)§1.4概率的公理化定义及概率的性质(1)几何概型)()(P(A)mDm设试验的每个样本点是等可能落入区域Ω上的随机点M，且D含在Ω内,则M点落入子域D(事件A)上的概率为:(2)几何概型概率的定义ΩmDm注：及在是区间时，表示相应的长度；在是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积.例1.某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率.9点10点10分钟616010)(AP几何概率的性质：0)(P11)(iiiiAPAP非负性规范性1P10P两两互不相容．可列可加性:设nAAA,,,21例2两船欲停靠同一个码头,设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.设：船1到达码头的瞬时为x，0x24船2到达码头的瞬时为y，0y24事件A表示任一船到达码头时需要等待空出码头．解:xy2424y=x224S22222321AS1207.01)(SSAPA}240,240),{(yxyx}20,10,),(),{(yxxyyxyxA注：用几何概型可以回答例1.2.4中提出“概率为1的事件为什么不一定发生?”这一问题。0x1Y1如图，设试验E为“随机地向边长为1的正方形内黄、蓝两个三角形投点”事件A为“点投在黄、蓝两个三角形内”,求)(AP11111)(2121正方形蓝三角形黄三角形SSSAP由于点可能投在正方形的对角线上,所以事件A未必一定发生.概率的公理化定义前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局限性.为了克服这些局限性，1933年，俄数学家柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率论的发展奠定了理论基础。概率的公理化的定义:1ΩP(2)规范性(1)非负性ΑP0设是给定的实验E的样本空间，对其中的任意一个事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足：(3)可列可加性设11)(iiiiAPAP两两互不相容，则：则称P(A)为事件A的概率.nAAA,,,21(3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(Ω-A)=1-P(A).若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)≤P(B);(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)加法公式可推广到有限个事件的情形.设是n个随机事件,则有nAAA,,,21niinnkjikjinjijiniiniiAPAAAPAAPAPAP111111)1(类似可证其他.=P(A)+P(B)-P(AB)P(A+B)=P[A+(B-AB)]=P(A)+P(B-AB)P(A)=P(A-B)+P(AB),即P(A-B)=P(A)-P(AB).A=(A-B)+AB,A-B和AB为互斥事件,所以由(2)得证明(4)证明(3)得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，例1AB=φ，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8,求B的逆事件的概率。解:由思考在以上条件下，P（A-B）=？P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)所以，=1-0.2=0.8BP例2设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A与B都不发生的概率为0.15,求A发生B不发生的概率；B发生A不发生的概率及P(A+B).解由已知得,P(A)=0.6，P(AB)=0.1,150.BAP则P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5P(B-A)=P(B)-P(AB）850.BAP又因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35从而，P(B-A)=0.35-0.1=0.2511)(BAPBAP例3某人一次写了n封信,又写了n个信封如果他任意地将n张信纸装入n个信封中.问至少有一封信的信纸和信封是一致的概率是多少?解令={第i张信纸恰好装进第i个信封}iAniiAP1则所求概率为,易知有同理可得11211()3(1)(2)3!11()!!ijkijknnnPAAAnnnnPAAAnnn!21)1(12)()()1(1)(1)(,1)(11njijijiniiinnnAAPjinnAAPAPnAP111111(1)2!3!!nniiPAn由概率的加法公式得到1.P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6，求P(A-B).2.P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(Ω-AB)解答：(1)P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.1,所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3(2)P(Ω-AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=1-0.7+0.3=0.6课堂练习3.P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。4.A、B都出现的概率与A、B都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B).(3)CBAPCBAP解答：=1-P(A+B+C)=7/12(4)P(AB)=P()=P()=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),所以,P(B)=1-P(A)=1-pBABA休息片刻继续