中南大学概率论第1章第7讲

概率论中南大学数学院概率统计课程组例如箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则107)()|(BPABP由乘法公式即得P(AB)=P(A)P(B)从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现的概率彼此不受影响.§1.6独立性定义:若事件A与B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，简称A与B独立。推论1:A.B为两个事件,若P(A)0,则A与B独立等价于P(B|A)=P(B).若P(B)0,则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).证明：A.B独立=P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)=P(B|A)=P(B)注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响.证明不妨设A,B独立,则)B(P)A(P))B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P其他类似可证.推论2:在A与B,与B,A与，与这四对事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。AABB注意:判断事件的独立性一般有两种方法:①由定义判断,是否满足公式;②由问题的性质从直观上去判断.例1.某高校的一项调查表明:该校有30%的学生视力有缺陷.7%的学生听力有缺陷,3%的学生视力与听力都有缺陷,记A=“学生视力有缺陷”，30.0)(APB=“学生听力有缺陷”07.0)(BPAB=“学生听力与视力都有缺陷”，03.0)(ABP现在来研究下面三个问题：（1）事件A与B是否独立？由于021.007.003.0)()(BPAP)(ABP所以事件A与B不独立，即该校学生视力与听力缺陷有关联.（2）如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也有缺陷的概率是多少？10130.003.0)()()(APABPABP（3）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺陷的概率是多少？7307.003.0)()()(BPABPBAP类似地可算条件概率这要求计算条件概率)(ABP,由定义知定义(n个事件的相互独立性）设有n个事A1,A2,…,An,若对任何正整数m(2≤m≤n)以及)()()),1212121mmiiiiiimAPAPAPAAAPniii（（都有则称这n个事件相互独立.若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立.注意:从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.有限个事件的独立性例2随机投掷编号为1与2的两个骰子事件A表示1号骰子向上一面出现奇数,B表示2号骰子向上一面出现奇数,C表示两骰子出现的点数之和为奇数.则2/1)()()(CPBPAP4/1)()()(CAPBCPABP)()()()()()(APCPCPBPBPAP但0)(ABCP)()()(8/1CPBPAP本例说明不能由A,B,C两两独立A,B,C相互独立例3三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少?解设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电,A表示电路断电,则A1,A2,A3相互独立,A=A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=)AAA(P1321)A(P)A(P)A(P1321=1-0.168=0.832例4已知事件A,B,C相互独立,证明:事件A与CB也相互独立.证)()()(CBAPCBPCBAP)()()()()()(ABCPACPABPBCPCPBP)()()()(BCPCPBPAP)()(CBPAP例5设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%,求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率.解:设这100个人的血清混合液中含有肝炎病毒为事件A,第i个人的血清中含有肝炎病毒为事件Ai(i=1,2,…,100).)(11)(1001iiAPAP33.0)004.01(1100则1001iiAA一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性.系统由元件组成,常见的元件连接方式：串联并联1221系统的可靠性问题例6设两系统都是由4个元件组成,每个元件正常工作的概率为p,每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.A1A2B2B1S1:)()()()(212121211BBAAPBBPAAPSP)2(22242ppppA1A2B2B1S2:212)()(iiiBAPSP)()(12SPSP22)2(pp)2(22pp222pp例7某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求：各个击中目标次数的概率.解击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设Bi(i=0,1,…,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,...,5),则Ai(i=1,2,...,5)相互独立,P(B1)=)(5432154321543215432154321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAP4115)6.01(6.0C=5×0.6×(1-0.6)4i5ii5i0.6)(10.6C)P(BP(B0)=)(54321AAAAAP=(1-0.6)5=0.455005)6.01(6.0C若某个试验由n次基本试验构成,且具有以下特点:(1)每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败;(2)每次基本试验中每个结果出现的概率不变;(3)基本试验之间相互独立;(4)在相同条件下,试验可以重复进行.则称此试验为独立重复试验或贝努里(Bernoulli)试验;由于该试验由n次基本试验构成,故亦称之为n重贝努里试验.1.7Bernoulli概型贝努里公式在n重贝努里试验中,如果“成功”在每次试验中出现的概率为p,令Bk=“在n次试验中“成功”出现k次”,则),,2,1,0()1()(nkppCBPknkknk例1.同时掷四颗均匀的骰子,试计算:(1)恰有一颗是6点的概率;(2)至少有一颗是6点的概率.解:这是一个4重贝努里试验,掷每一颗骰子就是一个基本试验.(1)恰有一颗是6点的概率为(2)至少有一颗是6点的概率为311414114)65()61()611()61(CC4400404004)65(1)65()61(1)611()61(1CC例2八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为0.6,求目标被击毁的概率.解设一门炮击中目标为事件A,P(A)=0.6设目标被击毁为事件B,则82884.06.0)(kkkkCBP10884.06.01kkkkC9914.0解:设取出的5个数按由小到大排列为54321xxxxx令)4(3x表示所求的事件)3()4()4(333xxx例3从1,2,…,10十个数字中有放回地任取5个数字,求取出的5个数字中按由小到大排列,中间的那个数等于4的概率.令Ak表示所取的5个数字中恰有k个不大于4则kkkkCAP55106104)(533)4(kkAxmkAAmk,:)4(3x1,1,2,3,3;1,1,2,3,4;所取的5个数字中至少有3个数字不大于41,1,4,4,5;1,1,4,5,8;)3()4()4(333xPxPxP53535555107103106104kkkkkkkkCC1544.0)4()3(33xx由于533)()4(kkAPxP5355106104kkkkC补充作业题:某型号火炮的命中率为0.8，现有一架敌机即将入侵，如果欲以99.9%的概率击中它，则需配备此型号火炮多少门？解答:设需配备n门此型号火炮设事件表示第i门火炮击中敌机iA999.02.01)(11)(1nniiniAPAP29.42.0ln001.0lnn故需配备5门此型号火炮.小结1.首先，为研究随机现象引入样本空间和随机事件，使得事件与事件之间的关系和运算转化为某些集合与集合之间的关系和运算；2.概率的统计定义、古典定义、几何定义、公理化定义体现了概率的发展路程；3.古典概型、几何概型中概率的计算是基础，而条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式使得许多复杂问题的概率求解变得简单；4.独立性是事件之间非常重要的一个性质，对于独立事件，事件积的概率等于各事件概率的乘积。最后，利用独立性研究了贝努里概型。[1]复旦大学编《概率论》人民教育出版社。[2]中山大学编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社。主要教学参考书1.《概率论基础及其应用》王梓坤著科学出版社1976年版2.《数理统计引论》陈希儒著科学出版社1981年版概率统计专业首位中科院院士国内有关经典著作国外有关经典著作1.《概率论的分析理论》P.-S.拉普拉斯著1812年版概率论的最早著作2.《统计学数学方法》H.克拉默著1946年版数理统计最早著作休息片刻继续