第六章 刚体的简单运动

1刚体的平行移动4轮系的传动比5以矢积表示点的速度和加速度第六章刚体的简单运动2刚体绕定轴的转动3转动刚体内各点的速度和加速度[例]由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。是指刚体的平行移动和转动简单运动OB作定轴转动CD作平动AB、凸轮均作平动[例]AB在运动中方向和大小始终不变它的轨迹可以是直线可以是曲线一、刚体平动的定义刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变。具有这种特征的刚体运动称为刚体的平行移动，简称平动。§6-1刚体的平行移动二、刚体平动的运动特征设刚体做平动，如图所示。在刚体内任选两点A和B，令点A的矢径为rA，点B的矢径为rB。由图可知ABBArr平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度,加速度都一样。即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。上式两边同时对时间求一阶和二阶导数，有ddddddABB(BA)tttrrr222222ddddddABB(BA)tttrrr即ABvvBAaa结论：当刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。刚体作平动时，刚体内任意两点的轨迹完全相同。刚体平移→点的运动(+)O1O2OABMll【例6-1】荡木用两条长为的钢索平行吊起，如图所示。当荡木摆动时，钢索的摆动规律为，为最大摆角。试求当t=2s时，荡木中点M的速度和加速度。0cos4t0l解：荡木在运动的过程中,荡木作平动。为求中点M的速度和加速度,只需求出荡木上另一点A(或点B)的速度和加速度即可。点A的运动方程为0cos4sllt(+)O1O2OABMll将上式对时间求一阶导数，可得A点的速度0dsind44lsvttA点的切向加速度和法向加速度可分别写为20dcosd164lvatt22220nsin164lvatl当t=2s时，速度和加速度可分别写为04lv(方向水平向左)202cos0164tlat2222200n2sin16416tllat(方向铅直向上)【例6-2】图示曲柄滑块机构中，滑杆上有一圆弧形滑道，其半径R=100mm,圆心O1在导杆BC上。曲柄OA=100mm,以等角速度ω=4rad/s绕O轴转动。求导杆BC的速度和加速度。1coscos0.2cosxOAAO解：OA定轴转动，BC平移。研究O1点的运动即可。x46,0.4m/sv22.771m/sa0.2sindxvdt2220.2cosdxadt§6-2刚体绕定轴的转动转轴：两固定点连线1.定义刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。转角：单位:弧度(rad)2、转角和转动方程---转角,单位弧度(rad)=f(t)---为转动方程方向规定:从z轴正向看去,逆时针为正顺时针为负刚体绕定轴的转动的动画3、定轴转动的角速度和角加速度1）角速度：工程中常用单位：n=转/分(r/min)则n与的关系为:2603010(rad/snnn)()ft单位rad/s若已知转动方程f(t)ΔΔΔ0limtdtdt方向：逆时针方向为正2）角加速度:设当t时刻为,t+△t时刻为+△α与方向一致为加速转动,α与方向相反为减速转动3）匀速转动和匀变速转动当=常数,为匀速转动；当α=常数,为匀变速转动。020220122ttt常用公式与点的运动相类似。220lim()tddfttdtdt角加速度单位:rad/s2【例6-3】电动机由静止开始匀加速转动，在t=20s时，其转速n=360r/min，求在此20s内转过的圈数。解：电动机初始静止，即ω0=0。在t=20s时其转动的角速度为12rads30n/由ω=ω0+αt，可得电动机转动的角加速度为006rads./t在20s内转过的角度为220011062012022tt.故在20s内转过的圈数为602N(圈)§6-3转动刚体内各点的速度和加速度2.速度vsRR3.加速度2221tnddvasRtvaRRR1.点的运动方程sR4.速度与加速度分布图vR422n2tRaaa2nttanaa结论:①v方向与相同,R,与R成正比。②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角都一致,且小于90o。MAanaaAvMvOAa【例6-4】半径R=0.2m的圆轮绕固定轴O转动，其运动方程为。试求t=1s时，轮缘上任一点M以及重物A的速度和加速度。24tt解：t=1s时圆轮转动的角速度和角加速度分别为11d422radsdtt(t)/t2d2radsd/t04msMAvvR./204msAaaR./方向如图所示。点M的法向加速度的大小为22n08msaR./点M的全加速度的大小和方向分别为222n0894msaaa./2arctanarctan052634.'这里表示点M的全加速度和半径之间的夹角。MAanaaAvMvOAa【例6-5】试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加速度。其中ABOOB,OAO2121xy【例6-6】已知：h;vo求：OA杆的转动方程、角速度和角加速度解：建立图示坐标系00tanarctan()vtxhhvth0222030222202()hvddthvthvtddthvtxv0OAh【例6-7】已知：;v;r求：卷盘的角加速度Orv解：由定轴转动公式vr0ddrrdtdt2orr232vr对此式求导：半径的表达式：ddrdtrdt22drdt§6-４轮系的传动比1.齿轮传动①啮合条件1122ABRvvR外啮合内啮合②传动比2rZt22211122//RRtZRRtZ齿数由于1122260nnn成正比1122122211,:nRzinRz主动轮即从动轮显然当:时,,为升速转动；时,,为降速转动。121,||i21121,||i21内啮合时传动比为正；外啮合时传动比为负。２.带轮传动1122AABBrvvvvr121221rirr1r2M2BM11α11v2vα22AM2r2M1Aα1B1v2vα221r1【例6-8】设主动轮A和从动轮B的节圆半径分别为r1和r2，齿数分别为z1和z2。主动轮A的角速度为ω1，角加速度为α1，试求从动轮B的角速度和角加速度。r1r2M2BM11α11v2vα22AM2r2M1Aα1B1v2vα221r1解：在齿轮传动中，啮合点的速度和切向加速度的大小和方向相同，即12vv12aa因而有1122rr1122rr从而可以求得从动轮的角速度和角加速度分别为1212rr1212rr一对相互啮合的齿轮，它们的齿数和节圆的半径成正比，所以上面式子可写为1121122rzrz1121122rzrz联合上面两式，可得11222211rzrz1122122211rzirz有时为了区分轮系中各轮转向，对各轮规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比也可取代数值1122122211=rzirz式中，正号表示主动轮与从动轮转向相同(内啮合)，而负号表示主动轮和从动轮转向相反(外啮合)。通常在机械工程中，把主动轮和从动轮的角速度之比称为传动比，用i12表示§6-5以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度1.角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量k角加速度矢量ddddkkttdtd大小作用线沿轴线滑动矢量指向右手螺旋定则角速度矢的指向2.绕定轴转动刚体上点的速度和加速度加速度ddddvarttddddrrttrvntaaM点切向加速度ratM点法向加速度)(nrva速度rvvRrsin大小方向右手定则OxyzrM【例6-9】如图所示圆盘以恒定的角速度ω=50rad/s绕垂直于盘面的中心轴转动，该轴在yz面内，倾角θ=arctan3/4，动点M的矢径在图示瞬时为。试用矢量法求动点M的速度和加速度。rijk0.150.160.1解：由转轴所在的方位可将圆盘转动的角速度矢写为3450()304055ωjkjk动点M的速度030409.464.50.150.160.1ijkvωrijkMn030403753762829.464.5ijkaωvijkMM由于圆盘角速度为常数，所以动点M的切向加速度为零。动点M的法向加速度为例6-10刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速度矢为。5sin5cos5322ttijk求：t=1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及加速度矢。1031510ijkddarvrvt15753200752ijk解：角速度矢量nM点相对于转轴上一点M0的矢径010,7,112,1,38,6,8MMrrr0.60.480.6486868ijkvrnrjk0.60.480.64n其中（，，）求：刚体上点M（10，7，11）的速度矢。例6-11某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢的方向余弦为0.6，0.48，0.64，角速度的大小ω=25rad/s。总结一.基本概念和基本运动规律及基本公式1.基本概念：直线运动,曲线运动(点);平动,定轴转动(刚体)。2.基本运动规律与公式:dtdva点的运动加速度aanavs匀速000匀变a=C0a=C直线运动变速0匀速0匀变a=C曲线运动变速dtdvaCvvttfs)(atvv02021attvstadtvv00tvdts0dtdva2van2van2van2va22naaa22naaaCvtavv0tdtavv00vts2021tatvstvdts0刚体定轴转动转动方程:角速度:)(tfdtd22dddtdt角加速度:匀速转动:匀变速运动:t00t20012tt2202二.解题步骤及注意问题1.解题步骤:①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。②选好坐标系：直角坐标法，自然法。③根据已知条件进行微分，或积分运算。④用初始条件定积分常数。对常见的特殊运动，可直接应用公式计算。２．注意问题：①几何关系和运动方向。②求轨迹方程时要消去参数“t”。③坐标系（参考系）的选择。三.例题[例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？解：由于是匀变速运动，则常量。由公式而由已知avvas2202,m200lsvvasvv222