选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点

3.1空间向量及其运算知识点1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)单位向量：模为1的向量称为单位向量(3)相等向量：方向相同且模相等的向量．(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．(5)共面向量：平行于同一个平面的向量．2.空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量112231nnnOAOAAAAAAAuuuruuuruuuuruuuuruuuuur－＝＋＋＋＋.运算律：①加法交换律：a＋b＝b＋a②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.推论：点P在直线AB上的充要条件是：存在实数λ，使得APABuuuruuur①或对空间任意一点O,有OPOAABuuuruuruuur②或对空间任意一点O，有OPxOAyOBuuuruuruuur其中x＋y＝1③【推论③推导过程：()(1)OPOAABOAAOOBOAOBuuuruuruuuruuruuuruuuruuruuur】(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么p与a，b共面的充要条件是存在唯一有序实数对（x,y）使p＝xa＋yb推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在唯一有序实数对（x,y）使APxAByACuuuruuuruuur，或对空间任意一点O，有OPOAxAByACuuuruuruuuruuur或对空间任意一点O，有OPxOAyOBzOCuuuruuruuuruuur，其中x＋y＋z＝1【推论③推导过程：(1)OPOAxAByACxyOAxOByOCuuuruuruuuruuuruuruuuruuur】(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．4．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a，b，向量a，b的数量积记作a·b，且a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.5．空间向量的坐标表示及应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(1)数量积的坐标运算：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示：a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式：|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB→|＝a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.6.用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选取基底{a，b，c}；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题．题型一空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．例1：三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.解析：MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋23[12(OB→＋OC→)－OA→]＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.例2：如图所示，ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若AE→＝12EC→，A1F→＝2FD→，且1=x+y+zEFABADAAuuuruuuruuuruuur,试求x、y、z的值．.解连接AF，EF→＝EA→＋AF→.∵EA→＝－13AC→＝－13（AB→＋AD→）AF→＝AD→＋DF→＝AD→－FD→＝AD→－13A1D→＝AD→－13（A1A→＋AD→）＝12133ADAAuuuruuur∴EF→＝EA→＋AF→＝1111333ADAAABuuuruuuruuur题型二共线定理应用向量共线问题：充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a与b，化简得出a＝b，从而得出a∥b，即a与b共线．点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A、B、C三点共线，即证明AB→与AC→共线．例3：如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断CE→与MN→是否共线？∵111111()()222222CECBBEMNMCCBBNACCBBABEACBACBBECBBEuuruuruuruuuruuuruuruuuruuuruuruuruuruuuruuruuruuruuruur∴CE→＝2MN→，∴CE→∥MN→，即CE→与MN→共线．例4：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E→＝2ED1，F在对角线A1C上，且A1F→＝23FC→.求证：E，F，B三点共线．证明：设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c.∴A1E→＝2ED1→=23AD→＝23b，A1F→＝23FC→＝25A1C→=25(AC→－AA1→)＝25(AB→＋AD→－AA1→)＝25a＋25b－25c∴EF→＝A1F→－A1E→＝25a－415b－25c＝25a－23b－c，EB→＝EA1→＋A1A→＋AB→＝－23b－c＋a＝a－23b－c，∴EF→＝25EB→.所以E，F，B三点共线．题型三共面定理应用点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明PA→＝xPB→＋yPC→，或对空间任一点O，有OP→＝OA→＋xPB→＋yPC→或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)即可例5：已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外一点O，若OP→＝25OA→＋15OB→＋25OC→，则点P是否与A、B、C一定共面？试说明理由．解析：∵212212212(+)(+)(+)=+++553553553OPOAOBOCOPPAOPPBOPPCOPPAPBPCuuuruuruuuruuuruuuruuruuuruuruuuruuuruuuruuruuruuur∴AP→＝15AB→＋25AC→，故A、B、C、P四点共面.例6：如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心，应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有PE→＝23PM→，PF→＝23PN→，PG→＝23PQ→，PH→＝23PR→.∴EG→＝PG→－PE→＝23PQ→－23PM→＝23MQ→＝23(MN→＋MR→)＝23(PN→－PM→)＋23(PR→－PM→)＝23(32PF→－32PE→)＋23(32PH→－32PE→)＝EF→＋EH→.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.例7：正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和A1D1的中点，求证向量A1B→，B1C→，EF→是共面向量．证明：如图所示，EF→＝EB→＋BA1→＋A1F→＝12B1B→－A1B→＋12A1D1→＝12(B1B→＋BC→)－A1B→＝12B1C→－A1B→.由向量共面的充要条件知A1B→，B1C→，EF→是共面向量．题型四空间向量数量积的应用例8：①如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．解析：(1)记AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12.|AC1→|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12＋12＋12＝6，∴|AC1→|＝6，即AC1的长为6.(2)BD1→＝b＋c－a，AC→＝a＋b，∴|BD1→|＝2，|AC→|＝3，BD1→·AC→＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈BD1→，AC→〉＝BD1→·AC→|BD1→||AC→|＝66.∴AC与BD1夹角的余弦值为66.②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则AE→·AF→的值为()A．a2B.12a2C.14a2D.34a2解析：设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.AE→＝12(a＋b)，AF→＝12c，∴AE→·AF→＝12(a＋b)·12c＝14(a·c＋b·c)＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2.题型五空间向量坐标运算例9：如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()A．(1,1,1)B.1，1，12C.1，1，32D．(1,1,2)设PD＝a(a0)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E1，1，a2，∴DP→＝(0,0，a)，AE→＝－1，1，a2，cos〈DP→，AE→〉＝33，∴a22＝a2＋a24·33，∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)．例10：已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ=________________解析：由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴7＝2t－μ，5＝－t＋4μ，λ＝3t－2μ.∴t＝337，μ＝177，λ＝657.例11：已知△ABC的顶点A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，试求△ABC的面积AB→＝(1,1,1)，AC→＝(2,1,3)，|AB→|＝3，|AC→|＝14，AB→·AC→＝2＋1＋3＝6，∴cosA＝cos〈AB→，AC→〉＝63·14＝642.∴sinA＝1－3642＝17.∴S△ABC＝12|AB→|·|AC→|·sinA＝12×3×14×17＝62.例12：已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，12B．－13，12C．－3,2D．2,2解析由题意知：λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得λ＝2，