第四章格林函数法

西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系第四章格林函数法拉普拉斯方程边值问题的求解方法西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系调和函数：1拉普拉斯（Laplace）方程的基本解§4.1格林（Green）公式及其应用具有二阶连续偏导数的调和方程的连续解；或满足Laplace方程的函数。三维Laplace方程的基本解：022200011(,,)()()()MMuxyzrxxyyzz特点：除点外，任一点满足Laplace方程。0000(,,)Mxyz同学们自己验证。西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系二维Laplace方程的基本解：0220011(,)lnln()()MMuxyrxxyy特点：除点外，任一点满足Laplace方程。000(,)Mxy同学们自己验证。问题：基本解是否为整个区域内的解？2Green公式（1）奥－高公式（高斯公式）：设是有界区域，是其边界曲面且足够光滑，在上连续，在内有连续偏导数，则(,,),(,,),(,,)PxyzQxyzRxyz西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系()(coscoscos)PQRdPQRdSxyz推导：令其中是的外法线方向。{cos,cos,cos}n（2）第一Green公式：设是有界区域，是其边界曲面且足够光滑，及其一阶偏导数在上连续，在内有二阶连续偏导数，则(,,),(,,)uxyzvxyz()vuvuvuvuvdudSdnxxyyzz,,vvvPuQuRuxyz代入高斯公式，并注意方向导数公式即可得。西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系（2）第二Green公式：设是有界区域，是其边界曲面且足够光滑，及其一阶偏导数在上连续，在内有二阶连续偏导数，则(,,),(,,)uxyzvxyz()()vuuvvuduvdSnn推导：由第一Green公式，有()vuvuvuvuvdudSdnxxyyzz()uuvuvuvvudvdSdnxxyyzz两式相减即可得。西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系3调和函数的积分表达式意义：调和函数在内任一点的函数值可用其边界上的函数值及其法向导数值表示。定理：设在有界区域内为调和函数，且在上有一阶连续偏导数，则，有(,,)uxyz0M000111()()[()()]()4MMMMuMuMuMdSMnrrn证明：0M如图作球0MK01MMvr取则和在内均为调和函数，由第二Green公式有uv0MK西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系0011[()]0MMMMuudSnrrn在上（其外法线方向如何？）01()MMnr0022111()MMMMrrr于是0222111()44MMudSudSuunr0114MMuuudSdSrnnn西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系代入上式，得0011[()]440MMMMuuudSunrrnn令，则00()uuM0()uMunn从而得证000111()()[()()]4MMMMuMuMuMdSnrrn西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系4调和函数的基本性质性质1：设在有界区域内为调和函数，且在上有一阶连续偏导数，则(,,)uxyz证：令1v0udSn将代入第二Green公式即可。,uv推论1：诺伊曼问题0,(,,)uxyzufn有解的必要条件是0fdS同学们考虑为什么？西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系021()4auMudSa性质2（平均值定理）：设在有界区域内为调和函数，，是以为球心，以为半径的球面，则有0M(,,)uxyz0Maa意义：球平均值证明：将调和函数积分表达式用于此球面上，有而000111()[()]4aMMMMuuMudSnrrn002111()()aaMMMMnrrra为什么？西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系于是0110aaMMuudSdSrnan为什么？021()4auMudSa性质3（极值原理）：若在有界区域内为调和函数，在上连续，且不为常数，则其最大值、最小值只能在边界上达到。(,,)uxyz推论1：设在有界区域内为调和函数，在上连续，若在上有，则在内也有,uvuvuv证明从略西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系证明：用反证法若在内有，即，而在边界上，说明在内部可能取最大值。uvuv0uv0uv推论2：狄利克莱问题0,(,,)uxyzuf的解唯一。证明：12uuu1u设和均为该问题的解，则满足2u由极值原理，0,(,,)0uxyzu0u西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系推论3：对狄利克莱问题0,(,,)()uxyzua常数有ua西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系1Green函数的引入§4.2格林（Green）函数对狄利克莱问题0,(,,)uxyzuf由调和函数的积分表达式，其解可以表示成0M000111()[()]4MMMMuuMudSnrrn00111[()]4MMMMufdSnrrn（1）西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系（1）式＋（2）式，得为此，引入Green函数的概念。un但在边界上，未知，不能用上述公式求解，必须消去un取均为区域内的调和函数，且在上有一阶连续的偏导数，则由第二Green公式，有,uv()0vuuvdSnn（2）000111(){[()]()}44MMMMvuuMuvdSnnrrn（3）000111()[()]4MMMMuuMudSnrrn（1）西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系令v选，使，则（3）式变成014MMvr（4）0011()[()]4MMvuMudSnnr01()4MMuvdSnr001(,)4MMGMMvr则（4）式表示为0()GuMudSn（5）于是狄利克莱问题的解可表示为称为Green函数0()GuMfdSn称为Green函数法西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系v在上面的分析中，我们要求应满足0(,)GMMv问题：Green函数如何构造？即如何构造？这又是一个狄利克莱问题。如何求解？00,(,,)14MMvxyzvr西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系2Green函数的静电学意义014MMr设在处有一个单位点电荷，则其在空间任一点处所产生的电场电位为0MM0001(,)(,)4MMGMMgMMr其中表示导电面上感应电荷所产生的电位。0(,)gMM0M若在点的点电荷是包围在一个封闭的导电面内，而这个导电面又是接地的，此时在导电面上的电位恒等于零，在导电面内任一点的电位由两部分组成：M（该函数结构即是Green函数）西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系可见只要将确定了，则也就确定了。0(,)gMM0(,)GMM0(,)gMM0(,)gMM如何确定呢？根据Green函数的结构，必须满足我们采用如下方法获得0(,)gMM001(,)4MMgMMr假设区域外也有一个点电荷（不一定单位电荷），它对自由空间的电场也产生一个电位。设这两个点电荷所产生的电位在导电面上恰好抵消，则这个假想的点电荷在区域内电位就等于感应电荷所产生的电位，这样就得到了。0(,)gMM这种获得的方法称为静电源象法（镜象法）0(,)gMM西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系那么，这个假想的点电荷应在区域外的什么位置，所带电量又如何呢？这个点应是关于边界曲面的对称点。但是，对一般区域而言，这个对称点并不易得到。下面看两个特殊问题。0M1半空间上Green函数及狄利克莱问题的解§4.３格林（Green）函数的应用如我们研究上半空间{(,,)0,,}xyzzxy0000(,,)Mxyz用静电源象法求其Green函数：在关于边界曲面的对称点为1000(,,)Mxyz0M0z在放置一单位负电荷，则它们所形成的静电场的电位在边界上恰好为零。1M0z为什么？西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系对狄利克莱问题00,0(,),zuzufxyxy则其用Green函数表示的解为：因此上半空间的Green函数为：010111(,)()4MMMMGMMrr又为什么？00()zGuMfdSn而在该边界上有0zGGnz为什么？西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系01000332223/2000011()42[()()]MMMMzzzzzzrrxxyyz从而002223/20001()(,)2[()()]zuMfxydxdyxxyyz0222000()()()MMrxxyyzz1222000()()()MMrxxyyzz注：西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系yxyxfyxuzyxzuyuxu,),,()3,,(3,,,0222222)6,,(0001zyxM104141),(0MMMMrrMMG00(,)()()dGMMuMfMSn20202020202064141zzyyxxzzyyxx03(,)|(,)zGMMfxydxdyz例1求解下列定解问题解：0000(,,)Mxyz对称点为故其Green函数为该问题的解为西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系２球域上的Green函数及狄利克莱问题的解用静电源象法求其Green函数：我们采用下面的方法找关于边界球面的对称点：如图1M0M设球域为2222{(,,)}xyzxyzR0000(,,)MxyzOM0M1M在半射线上截线段，使1OM0OM___________201OMOMRK采用下面的方法找电荷所带电量（应使球面上的电位为零）：1MMK作三角形如图01,OMMOMMSS___________201OMOMR______0_____1OMRROM____________0___________1OMOMOMOM01OMMOMMSS西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系____________1___________00MMOMOMMM______________________100______00OMRMMMMMMOM应使球面上的电位为零，必有011044MMMMqrr将距离关系式代入，可得0Rq于是球域上的Green函数为0100111(,)()4MMMMRGMMrr西安理工大学应用数学系西安理工大