工程力学 第十三章 课件

第十三章应力状态分析][NAF][PmaxWT剪切mm扭转PP拉伸][SAF§13.1引言一、受力状态实例maxmaxxyzMQ][cZZWMAABCDDC][tZZWMB][z*SISFＤ点如何校核强度?弯曲梁截面上各点微体受力复杂受力状态实例FNFTmDDpAxyABxyzB螺旋桨轴压力容器构件内部不同的点有不同的应力——应力为位置的函数。PAAPPA'PPAB构件内部同一点不同的方向面上应力不尽相同——应力为方向面的函数。1、应力状态的概念二、一点的应力状态一点的应力状态：一点的各个方向面上的应力状况称为该点的应力状态（一点处不同截面上应力的集合）。一点的应力状态的表示方法——微体法：围绕一点取微小的正六面体微体。应力状态的概念与表示方法xxyyzxzyzyxzxzyxyzxxyyzxzyzyxzxzyxyz微体上相对坐标面上的应力大小相等、方向相反。微体上任意方向面上的应力均匀分布。微体应力分布原则:当一个微体的三个坐标平面上的应力为已知时，总可以用截面法（平衡条件）求出任意方向面上的应力，于是当微体三个坐标平面的应力已确定时，就称该微体的应力状态已确定。xxyyzxzyzyxzxzyxyz定义：微体中切应力为零的平面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主平面的法线方向称为主方向；2、主平面、主应力、主方向、主平面微体可以证明，一点处必定存在三个互相垂直的主平面，因而有三个互相垂直的主应力，分别记为1、2、3，且规定按代数大小顺序分别定义为第一主应力、第二主应力、第三主应力。即123123第一、第二、第三主应力以主平面为坐标平面的微体称为主平面微体。单向应力状态——只有一个主应力不为零；二向(平面)应力状态——有两个主应力不为零；三向(空间)应力状态——三个主应力均不为零；3、应力状态的分类xxyzxy123xxyyyxyxyx§13.2二向应力状态分析——解析法对于平面应力状态的一般微体，在四个侧面作用有应力，其作用线均平行于微体不受力的表面。xxyyyxyxyxz已知：x，y，x，y，求：1、任意斜截面的应力(面)；2、主应力和主方向；3、最大切应力和最大切应力作用面的方向。xxyyyxyxyxnxyz0nFcossincoscosxxdAdAdAsincossinsin0yyτdAααdAααyxnyyxxtdAdAcosdAsin并注意到x与y数值相等。222sincoscossinxxycos2sin222xyxyx同理，利用0tF，可得sin2cos22xyx(8-2)(8-1)yxnyyxxt：拉应力为正，压应力为负。：顺时针为正，逆时针为负。：从x轴正向逆时针转到截面外法线方向为正，反之为负。此处任意斜截面的意义，平行于z轴的任意斜面，该面外法线方向n与x轴夹角为，称为面。重申符号规定：nyxyyxxtxyz2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyxn6080MPa20MPa40MPa例题如图所示微体，求指定截面上的正应力和切应力。解：由题示条件知：xxy6080MPa20MPa40MPayx3080MPa40MPa20MPa302sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx30cos60sin6022xyxyx804080401320222267.3MPa80MPa20MPa40MPa30306030yx30sin60cos602xyx8040312022241.9MPa2cos2sin2xyxxxy80MPa40MPa20MPa302sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx002(sin2cos2)02xyxdd(1)令022xxyτtgασσ(2)整理可得的极值2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyxyxnyyxxt2即可找到两个互相垂直的极值平面。一个面上为极大值，另一个面上为极小值。22maxmin()22xyxyx0002()(2)22tgtgtg由(2)式可得出两个相差的极限平面，102(81)12xxytg代入式可得到将022xxyτtgασσ即正应力取极值的面上切应力恒为0可见：１、主平面（切应力为零的平面）是互相垂直的。２、主应力是正应力的极值。002(sin2cos2)02xyxdd当000sin2cos202xyx有极限平面的0dd令122xyxtg2可解出两个相差的极值平面，一个面上为极大值，另一个面上为极小值。sin2cos22xyx(8-2)同样方法求得切应力的极值22maxmin2xyx（）11122xyxtg122xyxtg022xxyτtgασσ01221tgtg切应力的极值平面与正应力极值平面成45求A点主平面和主应力(用主平面微体表示)。Ayx=70MPa=50MPaP例题图示臂梁上A点的应力状态如图所示。先求主应力方向0225021.42970xxytg1027.520117.5117.5cos(2117.5)22xyxy7070cos23550sin23526MPa2227.5cos(227.5)sin(227.5)22xyxyx7070cos5550sin5596MPa22解：yx=70MPa=50MPa2maxmin22xyxyx227070()502296MPa26MPa=070MPayxmaxmin26MPa96MPa角度确定了，大靠大，小靠小。96MPa70MPa50MPa26MPa27.562.5cos2sin222xyxyxsin2cos22xyxcos2sin222xyxyx(1)(2)得)2()1(22222)2sin2cos2()2(xyxyx2)2cos2sin2(xyx§13.3二向应力状态分析——图解法1.应力圆方程2222()()22xyxyx整理可得(3)为变量的圆方程和式为以)3(圆心坐标,02xy横坐标为平均正应力半径22()2xyx最大切应力应力圆（莫尔圆）应力圆的意义：一点的应力状态可用应力圆来表示，该点任意斜截面上的正应力和切应力为-坐标系中的一个定点，所有这些点的轨迹为一个圆(应力圆)；应力圆圆周上的任意一点的纵横坐标代表微体上某一斜截面上的应力。2222()()(3)22xyxyxxxyy22)2(xyx2yx画法1：利用圆心坐标和半径画应力圆圆心(,0)2xy半径22()2xyx22()2xyx2xy先选定比例尺)3()2()2(2222xyxyx2.应力圆画法yxxxyynoCDx(x,x)Dy(y,y)KF圆心)0,2(yx半径22)2(xyx)3()2()2(2222xyxyx画法2：微体上的斜截面与应力圆周上的点一一对应。微体上面对应应力圆上的D点。3.利用应力圆求微体上任意斜截面上的应力oCMKDDx(x,x)xFDy(y,y)yxxxyynD点的确定方法：从应力圆的Dx点依照微体上角相同的转向量取圆弧DDx其所对应的圆心角2xDCD，使D点的横坐标OMD点的纵坐标MDoCMKDDx(x,x)xFDy(y,y)yxxxyyn2(,)40MPa30MPa60MPa例题如图所示微体中已知x=40MPa，x=–30MPa，y=60MPa，y=30MPa，试用应力圆求=45，=90+两截面上的应力。解：作应力圆选取比例尺1cm=20Mpa建立坐标系CoDx(40,-30)Dy(-60,30)40MPa30MPa60MPax=40MPa，x=–30MPa，y=60MPa定出Dx(40，30)Dy(60，30)连接DxDy交横轴于C点C(10，0)以C为圆心xCD为半径画应力圆求＝45面上的应力截面以x截面逆时针方向转45，所以在应力圆从Dx开始逆时针沿着圆周转圆心角2=90,得到点D。量得：1cmOM4520MPaD的纵坐标2.5cmDM452.52050MPaD的横坐标2=90DxDyDMCo(40,-30)(-60,30)求＝135面上的应力D与D在一条直径上，同样方法可量得22(9045)27040MPa50MPa2=90DxDyDMCoN(40,-30)(-60,30)D40MPa60MPa45nn20MPa50MPa50MPa应力圆直观地反映了一点处应力状态的特征，在实际应用中并不一定把应力圆看成为纯粹的图解法，可以利用应力圆来理解有关一点处应力状态的一些特征。点面对应，注意基点转向相同，转角两倍2=90DxDyDMCo(40,-30)(-60,30)应力圆圆周上的点与微体斜截面的对应关系，可用口诀来记忆：应力圆与轴的交点D1、D2为正应力的极值点。maxminyy22()22xxxD1、D2点切应力为零。这两点在一条直径上，对应微体上互相正交的两个面（两个主平面）。oCBKD1Dx(x,x)xFDyD2A(y,y)2xy22()2xyx02主应力及切应力极值0(2)2xxytg022xxytgA、B两点为切应力的极值点。一个为极大值，一个为极小值。maxminy22()2xx极值平面互相正交oCBKD1Dx(x,x)xFDyD2A(y,y)2xy22()2xyx02切应力取极值的平面上，正应力一般不为021yxxyxxyxtg22)(21微体上正应力取极值的面与切应力取极值的面相隔45oCBKD1Dx(x,x)xFDyD2A(y,y)2xy22()2xyx02122xy4520max452045单向拉伸00ABDxDy0例题几种特殊