工程力学 第四章 截面的几何性质

第四章截面的几何性质构件的承载能力与横截面的形状有着密切的关系，相同的截面面积，几何形状不同承载能力差异很大，有必要研究两者之间的关系。§4.1静矩和形心dAyyzzOAzAySdAyAzSd一.静矩与理论力学中的静力矩概念相似量纲[L3]-(m3)值域-实数（4-1）1.静矩的定义取微面积dA，把ydAzdA称为dA对y、z的静矩截面的静矩[例4-1]求三角形ABC对底边BC的静矩bhABCOzy解:)(,zhhbDEbDEhzhdzDEzzdzzhhbdSy)(hAyyzdzzhhbdSS0)(积分得：203261312bhzzhhbShy3)21(hbhSy2.形心坐标AAzzAAyyACACddCyyCzCzO引用理论力学求容重为1个单位的均质等厚薄板，求重心的公式（4-2）即ASzASyyCzC由此得出CyCzAzSyAS（4-3）3.静矩的性质截面对通过其形心轴的静矩等于零.反之,若截面对某轴静矩为零，则该轴必过截面形心.二.组合截面的静矩截面图形由n个部分组成12nAAAA根据定义nAAAAyzdAzdAzdAzdAS21...所以11nnyyiiCiiiSSAz11nnzziiciiiSSAy（4-4）又有niiniiCiCniiniiCiCAAzzAAyy1111（4-5）CL6TU5[例4-2]确定图示截面图形形心C的位置。解：ySACzmm7.397001200510706012010ASzyCmm7.197001200451070512010A1=120×10y1=5z1=6012A2=70×10y1=45z1=5CL6TU6[例4-3]求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。)2(22/ahbhaSy解：bha2422§4.2惯性矩、极惯性矩和惯性积一.惯性矩AyAzAzIAyIdd22dAyyzzO1.定义（4-6）量纲：[L4]，值域：非负。2.惯性半径工程中常把惯性矩表示为截面图形的面积与某一长度平方的乘积，即IAiyy2或iIAyyIAiiIAzzzz2或（4-7）iiyz、分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径IApA2d222zyzyApIIdAzyI)(22二.极惯性矩dAyyzzO量纲：[L4]，值域：非负。三、惯性积AyzAzyIddAyzzOy量纲[L4]-(m4)值域-实数正交系中有一个坐标轴是截面对称轴，则截面图形对该坐标系的惯性积必为零。Iyz0（4-8）（4-9）zydAdAAyzyzdII0所以四.惯性矩、极惯性矩和惯性积性质一览表名称定义量纲关系性质静矩惯性矩极惯性矩惯性积SyAzAd,SzAyAdIyAzA2d,IzAyA2dIyzAyzAdIApA2d[L3][L4][L4][L4]CyCzAzSyASIAiyy22zziAIzypIIIyzdAzdAydIyz)(对形心轴静矩为零对对称轴惯积为零五.常见截面图形的惯性矩(1)矩形截面对对称轴的惯性矩CL6TU7zdzIzAyA2dzbzhh222//d123bhIy123hbIzd(2)圆对直径的惯性矩46412DIIIpzy(3)圆环对直径的惯性矩DD)()1(64144DdDIIzy442641641dDdAyIIAAzy322d422DdAIAApzypIII又dρρ§4.3惯性矩与惯性积的平行移轴公式CyzOzcycbayzdAyczcbzzayycc一.惯性矩的平行移轴公式1.坐标关系式2.惯性矩的移轴公式,d,d22AyAzAzIAyIAcyAczAzIAyIccdd22---①---②(4-6)IyAzA2d()yaAcA2dyAayAaAcAcAA222dddAaIIczz2①式代入（4-6）式(4-10a)利用②式并注意到对形心轴的静矩为零AbIIcyy2同理3.结论截面图形对任一坐标轴的惯性矩等于对自身形心轴的惯性矩加上两轴间距平方与图形面积之积所得到的和。可见在平行的诸轴中，平面图形对自身形心轴的惯性矩最小。(4-10b)bzzayyccAczAyIcd2AzyAzyId(4-9)①式代入（4-9）式abAIICCzyyzdAbzayAzyIcAcAzy))((dAAcAcAccdAabAybAzaAzydddAcczyAzyIccd注意到对形心轴的静矩为零，且(4-11)截面图形对任一坐标系的惯性积等于对形心坐标系的惯性积加上两对轴间距与图形面积三者之积所得到的和。结论二.惯性积的移轴公式注意ab的正负值同c点在yz坐标系中坐标值80802020解（1）确定形心轴Z的位置：先求形心位置取y为对称轴，形心必位于对称轴上。Zc=0Z1CZyc2080902080402080265()iicAyyAmm（2)求IZZIIzIzIIIIⅡ[例4-4]确定形心轴Z的位置，并求IZyZ80802020IⅡCycZCⅠZCⅡ48321027.1056258020122080)25(mAIIIZZICI48321033.1856258020128020)25(mAIIIIZZIICII48106.290mIZyZIIzIzIII[例4-5]：求图示平面图形对y、z轴的惯性矩Iy、IZCL6TU11yzaad（y为对称轴、过形心）646128212223343daddadIIIyIIyIyIIIII解（1）求Iy（2)求IZ:ZIIZIzIII2yzaad12)2(3adIz21284ddd22823dda22823Z*ZcII32d12)2(3adIzI22)32)(8(dadIIcIIzzIIIIIII22224)32(8)32)(8(128daddddIzII§4.4转轴公式主惯性轴和主惯性矩cossinsincos11zyzzyy一.转轴公式yzp1y1z1.坐标关系式AzAyId211AAzyd)sincos(2AAAzdAzyzdAdAyI2222sincossin2cos12.惯性矩的转轴公式2sinsincos22yzyzIII2sin2cos221zyyzyzzIIIIII经整理可得同理2sin2cos221zyyzyzyIIIIII(4-12a)(4-12b)3.惯性积的转轴公式AyzdAzyzyI)cossin)(sincos(11AyzdAyzzyI)sin(coscossin)[(2222112cos2sin211zyyzyzIIII(4-12c)二.主惯性轴与主惯性矩的定义(1)主惯性轴当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积Iy0z0=0时，则坐标轴y0、z0称为主惯性轴。(2)主惯性矩平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。(3)形心主惯性轴过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。(4)形心主惯性矩平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。，则为是主惯性轴，其方位角、设正交坐标轴000zy0000sin2cos202zyzyyzIIIIyzzyIII22tan0三.主惯性轴方位：（4-13）由（4-13）通过倍角公式可得022022sin24cos24zyzyzyzyzyzyIIIIIIIII或简写成2222222200yzyzyzyyzyzyzzIIIIIIIIIIII222200yzyzyzyzIIIIIII四.主惯性矩把上式代入（4-12a,b)，经整理得（4-14a)（4-14b)（4-14）[例4-6]求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心主惯性矩的大小。CL6TU13（1）求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩大小的步骤a）找出形心位置；b)求各简单图形自身形心主惯性矩,再就整个图形参考坐标系在zcy，求出Iz、Iy、Izy。c）求α0、Iz0、Iy0Cy将原截面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标系z解：122zzzIII12332442540605240522.51212256000mm25.6cmyyyIIIIIyzyz22405275225247500247514...mmcm424051240527556012323.44cm3.39mm393000zy由对称性确定形心位置C，过形心建立zcy坐标系02224.75tan23.61839.3325.65yzzyIII由得形心主惯性轴的方位角或0373527..002222zyzzyyzyIIIIIII形心主惯性矩为004458.26.81zyIcmIcmz0y0把数据代入下式zy[例4-7]一截面的尺寸如图所示，已知截面的形心C位于截面上边缘以下20mm和左边缘以右40mm处,试计算截面的形心主惯性矩。先求得截面形心C（40,-20），再选择一对分别与上边缘和左边缘平行的形心轴(见图)。CCyx和mmamma25,15ⅡⅠ解:mmbmmb35,20ⅡⅠ列表计算图示截面对所选形心轴的惯性矩和惯性积(参看图)如下将截面分为I，II两矩形，两矩形形心坐标分别为zyzc0zc29.6133.870.8项目列号ⅠⅡ分块号iAimm2mm104mm4aibiai2Aibi2AixciI（1）（2）（4）（3）（5）（6）120070015-2520-352743.84885.8128.697.3097.3144.63661.3项目列号ⅠⅡ分块号i（7）（8）（9）（10）（11）（12）104mm4iyCIixCIiyCIiiyCxCIiiyCxCI0019286.43661.32872.41440.6278.4100.3计算列表把求得的各值代入式（4-13），得xCyCyCxCIII,,093.1104.278103.100103.97222tan4440yzyzIIIoo8.1136.227200即形心主惯性轴Zco可从形心轴Zc沿逆时针向转113.80得到。把求得的Izc、Iyc、Izcyc代人式（4-15），即得形心主惯性矩的数值xCyCyCxCIII,,)(104.5722)(1032122422min422max00mmIIIIIIImmIIIIIIIccCCyzyczcyczcyCzyyczcyczczC3.974.2783.100zcycyczcIII作业：6-16-2(b)6-36-56-8把求得的代人式（4-13），得xCyCyCxCIII,,093.1104.278104.100103.97222tan4440zyyzIIIoo8.1136.227200即形心主惯性轴xco可从形心轴xc沿逆时针向转113．8