第4章流体动力学基础

第4章流体动力学基础§4.1流体的运动微分方程(理解)§4.2元流的伯努利方程（掌握）§4.3恒定总流的伯努利方程（掌握）§4.4非恒定总流的伯努利方程（掌握）§4.5恒定总流的动量方程（掌握）§4.6无粘性流体的无旋流动（自学）§4.1流体的运动微分方程式（自学）§4.1.1无粘性流体的运动微分方程式从理想流体中任取一为中心的微元六面体为控制体，边长为，中心点压强为，(,,)pxyz(,,)xyz,,dxdydz受力分析(x方向为例)：1.表面力因为理想流体，所以左表面右表面2.质量力单位质量力在各坐标轴上分量为，所以方向的质量力为由牛顿第二运动定律，方向有：()()22xDudxpdxppdydzpdydzXdxdydzdxdydzxxDt1xxxxxxyzDuuuuupXuuuxDttxyz01()2MMpPpApdxdydzx1()2NNpPpApdxdydzx,,XYZXdxdydzFmaxx理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。若加速度等于0，则上式就可转化为欧拉平衡微分方程111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzDuuuuupXuuuxDttxyzDuuuuupYuuuyDttxyzDuuuuupZuuuzDttxyz§4.1.2粘性流体的运动微分方程式（自学）1.粘性流体的动压强由于粘性作用，运动时出现剪应力，使任一点法向应力的大小，与作用面的方位有关。研究表明，同一点任意三个正交面上的法向应力之和都不变，该点的动压强表示为2.实际流体的运动微分方程（N-S）222111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuuupXuuuuxtxyzuuuupYuuuuytxyzuuuupZuuuuztxyz1()3xxyyzzpppp§4.2元流的伯努利方程及能量方程§4.2.1无粘性液体运动微分方程的伯努利积分由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。考虑条件：1、恒定流111xxxxyzyyyxyzzzzxyzuuupXuuuxxyzuuupYuuuyxyzuuupZuuuzxyzdxdydz0,0yxzuuuptttt对上式各式分别乘以流线上微元线段的投影dx，dy，dz,则上式中的第一式变为：2.在流线上，由流线微分方程式，有1()xxxxyzuuupXdxdxuuudxxxyzyxzuuudxdydzyxzxudxudyudxudz()()xxxxyzxxxxyzxxxxxxxxxxxxuuuuuudxxyzuuuudxudxudxxyzuuuudxudyudzxyzuuuudxdydzxyzudu因此同理有：将上述三式相加得：2222221()()21()2xyzIIIIIIxyzIIIIIIuuupppXdxYdyZdzdxdydzdxyzuuuXdxYdyZdzdpd211()()2xxxxyzxxxuuupXdxdxuuudxududuxxyz2211()211()2yyyzzzpYdydyududuypZdzdzududuz2.质量力只有重力3.均匀不可压缩流体积分得无粘性流体运动方程沿流线积分：0,XYZg1,()pconstdpd2()()2IIIIIIpugdzdd2221()2xyzIIIIIIuuuXdxYdyZdzdpd22puzCgg2()()02pugdzdd——元流的伯努利方程对同一流线上的任意两点，有或无粘性流体元流伯努利方程的应用条件：1、恒定流动；2、质量力只有重力3、沿元流（流线）4、不可压缩流体2211221222pupuzzgggg2222222111upzupz§4.2.2元流伯努利方程的物理意义和几何意义物理意义几何意义单位重量流体的位能位置水头单位重量流体的压能压强水头（测压管高度）pgz单位重量流体的动能流速水头单位重量流体总势能测压管水头单位重量流体的总机械能总水头沿同一元流（流线）的各过流断面上，单位重量流体所具有的机械能守恒。对于液体来说，元流各过流断面上总水头沿流程保持不变。22puzggpzg22ug例4-3毕托管测速是一根很细的弯管，其前端和侧面均开有小孔，当需要测量水中某点流速时，弯管前端置于该点并正对水流方向，前端小孔和侧面小孔分别由两个不同通道接入两根测压管，测量时只需要读出这两根测压管的水面差，即可求得所测点之流速。设先将一根弯管的前端封闭，弯管侧面开一小孔，把弯管正对水流方向，把侧面开孔处置于测点A，此时弯管水面上升高度，则代表了A点的动水压强，即：设A点流速为，若以通过A点的水平面为基准面，则A点的总能量为：1Aphg22122ApuuHhggg两根测压管的水面差1h1hu再以另一根同样的弯管，侧面不开孔，前端开孔，将弯管前端置于A点并正对水流方向。此时，由于A点水流受弯管的阻挡，流速变零，动能全部转化为压能，故，上述两种方法所测得的A点能量应相等，则可得由此可得A点的流速以上就为毕托管测速的原理。212212()22uhhughhghg两根测压管的水面差2Hh212()2ughhgh而真实的毕托管，并不要进行两次测量，而是两根管合二为一，只是将前端的小孔和侧面的小孔由分别不同的通道接在两支测压管上。此时，流速应为其中称为毕托管的校正系数，一般约为0.98-1.0。修正原因：1．两个小孔的位置不同。2．毕托管放入水流中所产生的扰动影响。2ucghcc§4.2.3粘性流体元流的伯努利方程实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力做功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失。因此，实际流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程不守恒，而是沿程减少。设为单位重量流体从断面1—1流动到断面2—2所损耗的机械能，即能量损失，称水头损失。则实际流体元流的伯努利方程为：§4.3恒定流体总流的伯努利方程§4.3.1渐变流及其性质1、渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行；2、渐变流过流断面上的动压强与静压强分布规律相同，即22112212'22wpupuzzhggggcpzg'wh☆§4.3.2总流的伯努利方程将式☆各项乘以重量流量，得到单位时间内通过元流两过流断面的全部流体的能量关系式：根据连续性方程：对上式在总流两过水断面上积分，可以得到通过总流两过流断面的所有流体所携带的总能量之间的关系整理得：22112212()(')22wpupuzgdQzhgdQgggggdQ1122dQudAudA12112222211221112223111111322222222()(')22()2()'2wAAAAwAAApupuzgudAzhgudAggggpugzudAgdAggpugzudAgdAghudAgg1、势能积分项由于取在渐变流过流断面上,因此有2、动能积分项单位时间内通过总流过水断面的流体动能的总和，积分按断面平均流速计算，并引入修正系数：——动能修正系数,一般大于1，如果流速分布较均匀时。在圆管层流动动中；工程实际中的紊流运动常取。()()()ApppgzudAgzAzgQggg()ApgzudAg232222AggudAAgQggg32AgudAg1.051.1021333322AAAgudAudAggAdAg3、水头损失积分项为单位重量流体由过渡断面1-1运动到2-2的平均机械能损失。因此，总流的伯努利方程为：4、▲能量方程的限制条件1）恒定流；2）不可压缩流体；3）质量力只有重力；4）两过流断面应为缓变流断面，而两断面之间，可以是缓变流也可以是急变流；5）流量沿程不变；6)沿程没有能量的输入输出。'wwAghudAghQ'wAghudA221112221222wpvpvzzhggggwh▲6、有能量输入输出的伯努利方程当两过流断面部有水泵、风机或水轮机、汽轮机等流体机械时，存在能量的输入或输出。此时的有能量输入或输出的伯努利方程为：3、两断面间有合流或分流的伯努利方程分流221112221222mwpvpvzHzhgg2211122212122233311113132222wwpvpvzzhggpvpvzzhgg211233合流2233311113132233322223232222wwpvpvzzhggpvpvzzhgg112233§4.3.4水头线总水头线是总水头的连线，测压管水头线是测压管水头的连线.理想（无粘性）流体中，总水头线直线；实际流体中，总水头线总是沿程单调下降的，下降的快慢可以用水力坡度J来表示:而测压管水头线则沿程有升有降221112221222wppzzhggggwdhdHJdldlppdHJdl理想流体总水头线和测压管水头线§4.3.5利用能量方程的解题步骤（“三选一列”）（1）选择基准面:基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选过水断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）等。（2）选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。（3）选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。（4）列能量方程解题，注意与连续性方程的联合使用。例4-4：用直径的水管从水箱引水，如图所示，水箱水面与管道出口断面中心的高差，保持恒定，水头损失水柱，试求管道的流量。基准面：0-0断面计算断面：1-1断面，2-2断面计算点：1-1断面自由水面（），2-2断面中心轴上采用相对压强100dmm4Hm3whm10解：应用伯努利方程基准面：0-0断面;计算断面：1-1断面，2-2断面;计算点：1-1断面自由水面（），2-2断面中心轴上因此有采用相对压强则：取则流速为流量221112221222wppzzhgggg124,0zHmz2222wHhg21.02322210.035m/s4QAd120pp22()4.43m/swgHh10例4-5：离心泵由吸水池抽水，已知抽水量，泵的安装高度，吸水管直径，吸水管的水头损失，试求水泵进口断面2-2的真空度。