第四章 三角函数与三角形4-5简单的三角恒等变换

重点难点重点：倍角、半角公式及积化和差、和差化积公式，依据这些公式进行三角函数的化简、求值、证明等．难点：公式的灵活运用知识归纳1．半角公式sinα2＝±1－cosα2cosα2＝±1＋cosα2tanα2＝±1－cosα1＋cosαtanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα2．积化和差与和差化积公式sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]sinα＋sinβ＝2sinα＋β2cosα－β2sinα－sinβ＝2cosα＋β2sinα－β2cosα＋cosβ＝2cosα＋β2cosα－β2cosα－cosβ＝－2sinα＋β2sinα－β23．求值题常见类型(1)“给角求值”：所给出的角常常是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和、差、倍、半公式、和差化积、积化和差公式消去非特殊角转化为特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．计算角的三角函数值时，一般要先考虑角的取值范围，使所计算的函数在该范围内单调，以避免讨论．4．三角函数的最值问题(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.②y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．③y＝asinx＋bcsinx＋d或y＝acosx＋bccosx＋d可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式或sinx＝f(y)(cosx＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为cosx的二次函数式．②y＝asinx＋cbsinx(a、b、c0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋cbt(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．高考主要考查可化一角一函形式的和复合二次型．一、函数与方程的思想[例1]已知sinx＋siny＝13，求sinx－cos2y的最大、最小值．分析：令u＝sinx－cos2y，消去sinx得u＝13－siny－cos2y可转化为二次函数求最值，关键是消元后sinx的范围同时要转化为siny的取值范围．解析：由sinx＝13－siny及－1≤sinx≤1得－23≤siny≤1.而sinx－cos2y＝sin2y－siny－23＝(siny－12)2－1112所以当siny＝12时，最小值为－1112，当siny＝－23时，最大值为49.点评：求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而sinx＝13－siny能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出siny的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤siny≤1.二、角的构造技巧与公式的灵活运用[例2]求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．解析：解法1：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋32cos10°－12sin10°2＋sin10°·32cos10°－12sin10°＝34(sin210°＋cos210°)＝34.解法2：令sin10°＝a＋b，cos40°＝a－b，则a＝12(sin10°＋cos40°)＝12(sin10°＋sin50°)＝sin30°cos20°＝12cos20°，b＝12(sin10°－cos40°)＝12(sin10°－sin50°)＝cos30°sin(－20°)＝－32sin20°.原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＋(a＋b)(a－b)＝3a2＋b2＝34cos220°＋34sin220°＝34.解法3：设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°x－y＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x＝32，x＝34.点评：解法1：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法2：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．解法3：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．你能解决下列问题吗？①求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值；求cos273°＋cos247°＋cos47°cos73°的值；②求sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)的值；求cos2α＋sin2(α＋30°)－cosαsin(α＋30°)的值；③求sin2α＋cos2(α＋60°)＋3sinαcos(α＋60°)的值；求cos2α＋sin2(α＋60°)－3cosasin(α＋60°)的值；④若x＋y＝2kπ＋π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y＋sinxsiny为定值34；若x＋y＝2kπ＋2π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y－sinxsiny为定值34；⑤若sin(β－α)＝a2或sin(α＋β)＝－a2，则sin2α＋cos2β＋asinαcosβ＝1－14a2.[例1]设5πθ6π，cosθ2＝a，则sinθ4等于()A.1＋a2B.1－a2C．－1＋a2D．－1－a2答案：D点评：不要求记忆半角公式，只要熟记二倍角公式，熟练进行角的范围与三角函数值符号的讨论，求半角的三角函数值时，可利用倍角公式通过开方求解．解析：∵5πθ6π，∴5π4θ43π2，∴sinθ40，∵a＝cosθ2＝1－2sin2θ4，∴sinθ4＝－1－a2.(文)(2010·北京顺义一中模考)已知πα2π，则cosα2等于()A．－1－cosα2B.1－cosα2C．－1＋cosα2D.1＋cosα2答案：C解析：∵πα2π，∴π2α2π.∴cosα2＝－1＋cosα2.(理)一个凸平面四边形的四个内角成公比为2的等比数列，其中最小角为θ，且cosθ＝a2，则最大角的正弦值为()A．－1－a22B.1－a22C．－1＋a22D.1＋a22答案：A解析：依题设θ＋2θ＋4θ＋8θ＝360°.∴θ＝24°，8θ＝192°.∴cosθ＝cos24°＝a2.sin8θ＝sin192°＝sin(180°＋12°)＝－sin12°＝－1－cos24°2＝－1－a22，故选A.[例2](文)求值：2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°.分析：tan20°＝sin20°cos20°，全式通分后，第一项可用二倍角公式变形，后两项可用和角公式变形，然后再依据角的特点考虑下一步变形的方向，可以都统一到20°，40°＝60°－20°，10°＝30°－20°，也可以利用40°＝30°＋10°.解析：原式＝2sin20°cos20°＋cos10°cos20°＋sin10°sin20°cos20°＝sin40°＋cos10°cos20°＝sin60°－20°＋cos30°－20°cos20°＝32cos20°－12sin20°＋32cos20°＋12sin20°cos20°＝3.(理)求值tan20°＋4sin20°＝________.分析：待求式为20°的正弦和正切，可切化弦通分，分子用二倍角公式变形后可和差化积，也可利用20°＝30°－10°，40°＝30°＋10°利用和角公式处理．解析：tan20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝2sin30°cos－10°＋sin40°cos20°＝sin80°＋sin40°cos20°＝3cos20°cos20°＝3.答案：3分析：注意观察角可以发现：①10°＝30°－20°，50°＝30°＋20°，35°＝45°－10°，55°＝45°＋10°，故可用和角公式展开解决；②10°＋50°＝60°，10°－50°＝－40°，35°＋55°＝90°，35°－55°＝－20°，且40°＝2×20°，故可考虑和积互化解决．sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为()A.14B.12C．2D．4答案：C解析：解法一：原式＝sin30°－20°＋sin30°＋20°sin45°－10°·sin45°＋10°＝2sin30°cos20°12cos210°－12sin210°＝cos20°12cos20°＝2.解法二：原式＝2sin10°＋50°2cos10°－50°2－12[cos35°＋55°－cos35°－55°]＝cos20°－120－cos20°＝2.分析：观察可见：有角的二倍关系，可考虑应用倍角公式；有幂次关系可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦，可异名化同名等等．[例3]化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.解析：解法1：(从“角”入手，复角化单角)原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12·(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12·(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.解法2：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－12cos2α·cos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2α·cos2β＝cos2β－cos2β·sin2α＋12cos2α＝1＋cos2β2－cos2βsin2α＋121－2sin2α＝1＋cos2β2－12cos2β＝12.解法3：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos2α2·1－cos2β2＋1＋cos2α2·1＋cos2β2－12cos2α·cos2β＝14(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋14(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－12·cos2α·cos2β＝14＋14＝12.解法4：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式＝(sinα·sinβ－cosα·cosβ)2＋2sinα·sinβ·cosα·cosβ－12cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)＋12sin2α·sin2β－12cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)－12cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－12·[2cos2(α＋β)－1]＝12.点评：对一个题目的解题方法，由于侧重角度不同，出发点不同，化简的方法也不惟一．对于三角函数式化简的目标是：(1)次数尽可能低；(2)角尽可能少；(3)三角函数名