第十七章―动能定理(工程力学)

第17章动能定理17.1.1常力的功设物体在常力F作用下沿直线走过路程s，如图，则力所作的功W定义为cosWFsFs功是代数量。它表示力在一段路程上的累积作用效应，因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：J(焦耳),1J＝1N·m。17.1力的功17.1.2变力的功设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。力F在微小弧段上所作的功称为力的元功,记为dW,于是有δcosdWFs17.1力的功M'M1M2dsMdrF力在全路程上作的功等于元功之和0cosdsWFs上式称为自然法表示的功的计算公式。δdWFr21dMMWFr称为矢径法表示的功的计算公式。在直角坐标系中ddddxyzFFFxyzFijk,rijkδdddxyzWFxFyFz21(ddd)MxyzMWFxFyFz17.1力的功上两式可写成矢量点乘积形式上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。1)重力的功设质点的质量为m，在重力作用下从M1运动到M2。建立如图坐标，则0,0,xyzFFFmg代入功的解析表达式得211212()d()zzWmgzmgzz17.1.3常见力的功17.1力的功M1M2Mmgz1z2Oxyz对于质点系，其重力所作的功为1212121212()()()()iiiiiiiCCCCWmgzzmzmzgMzMzgMgzz由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的路径无关。17.1力的功2)弹力的功物体受到弹性力的作用,作用点的轨迹为图示曲线A1A2,在弹簧的弹性极限内,弹性力的大小与其变形量d成正比。设弹簧原长为l0,则弹性力为00()krlFr22111200d()dAAAAWkrlFr=rrA1A2r2r1l0Or0rAdFA0dr17.1力的功于是212212010201()d()()2rrWkrlrkrlrl或)(21222112ddkW因为2011ddd()dd22rrrrrrrrrrr弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有关，与力的作用点A的轨迹形状无关。17.1力的功3)定轴转动刚体上作用力的功设作用在定轴转动刚体上A点的力为F,将该力分解为Ft、Fn和Fb，17.1力的功当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为tcosFFddsRjR为力作用点A到轴的垂距。力F的元功为ttδddddzWFsFRMjjFr=FtFrFbFnOzO1A力F在刚体从角j1转到j2所作的功为2112dzWMjjjMz可视为作用在刚体上的力偶17.1力的功17.1.4理想约束及内力作功•对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束，其约束力都垂直于力作用点的位移，约束力不作功。•光滑铰支座和固定端约束，其约束力也不作功。•光滑铰链(中间铰链)、刚性二力杆及不可伸长的细绳作为系统内的约束时，约束力作功之和等于零。•滑动摩擦力作负功。•当轮子在固定面上只滚不滑时，滑动摩擦力不作功。•变形元件的内力(气缸内气体压力、弹簧力等)作功；刚体所有内力作功的和等于零。1.质点的动能设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为221mvT动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。2.质点系的动能质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即221iivmT17.2质点和质点系的动能刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动形式不同时，其动能的表达式也不同。(1)平动刚体的动能17.2质点和质点系的动能222212121CiCiiMvmvvmT(2)定轴转动刚体的动能22222211221122iiiiiizTmvmrmrJ(3)平面运动刚体的动能212PTJ因为JP＝JC+md2所以2222)(2121)(21dmJmdJTCC因为d·＝vC,于是得222121CCJmvT平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和。17.2质点和质点系的动能CPCvC221122CCTmvJ21,2CCJmRvR243CmvT牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:vABC解：II为AB杆的瞬心234ATMvsinlv222111223IlJmlmml22221126sin3ABIABmvTJmv219412TMmv总例1均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。vIAAABTTT总aOrdrO1PABC例2长为l，重为P的均质杆OA由球铰链O固定，并以等角速度绕铅直线转动，如图所示，如杆与铅直线的交角为a，求杆的动能。1sinrvOBra1ddPmrlg22221ddsind22rPrTmvrgla杆OA的动能是22222200dsindsin26llPrPlTTrglgaa解：取出微段dr到球铰的距离为r，该微段的速度是微段的质量微段的动能O1例3求椭圆规的动能，其中OC、AB为均质细杆，质量为m和2m，长为a和2a，滑块A和B质量均为m，曲柄OC的角速度为，j=60°。解：在椭圆规系统中滑块A和B作平动，曲柄OC作定轴转动，规尺AB作平面运动。首先对运动进行分析，O1是AB的速度瞬心，因:12cosAABvOAaaj222122AAAmaTmvABOCjvCvBvAAB12sin3BABvOBaaj2221322BBBmaTmv1cABvOCOCABABvAvCOCjO1vBAB对于曲柄OC：2213OOCJmama规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式求动能：22222222112431122212(2)2ABcCABTmvJmamama22222222221314226372ABOCABTTTTTmamamamama2221126OCOJTma系统的总动能为：BjA例4滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度绕A转动，如图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j时，杆的动能。解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为CACAvvv速度合成矢量图如图。由余弦定理222221122222142cos(180)()2coscosCACAACAAAAAvvvvvvlvlvllvjjj则杆的动能221122222221111242122221123(cos)()(cos)CCAAAATmvJmvllvmlmvllvjjvAjBAlvAvCAvCvA1.质点的动能定理取质点运动微分方程的矢量形式ddmtvF在方程两边点乘dr，得ddddmtvrFr因dr＝vdt，于是上式可写成ddmvvFr或21d()δ2mvW17.3动能定理质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。积分上式，得212121d()2vvmvW或1221222121Wmvmv在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。17.3动能定理21d()δ2mvW2.质点系的动能定理设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi，速度为vi，根据质点的动能定理的微分形式，有21d()δ2iiimvW式中dWi表示作用在第i个质点上所有力所作的元功之和。对质点系中每个质点都可以列出如上的方程，将n个方程相加，得21d()δ2iiimvW17.3动能定理21d()δ2iiimvW于是得dδiTW质点系动能的微分，等于作用在质点系上所有力所作的元功之和。对上式积分，得1212WTT质点系在某一运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这一过程中所作的功之和。17.3动能定理例5一长为l，质量密度为ρ的链条放置在光滑的水平桌面上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。bbl解得lblgv)(222解:链条在初始及终了两状态的动能分别为01T22221lvT在运动过程中所有的力所作的功为)(21)(21)()(2212blgblblgblgbW由1212WTT例6已知：m，R,f，j。求纯滚动时盘心的加速度。jCFNmgvCF解：取系统为研究对象，设任意时刻圆盘中心速度为vc，则系统动能为：s质点系上所有力元功的和为：dsmgWijdsin243CmvT2sin3cagj解得：由动能定理dδiTW有：dsmgmvdCjsin)43(2即：dsmgdvmvccjsin)23(dtdsgdtdvvccjsin23两边同除以有：dtdtdvadtdsvccc;又由例7卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为α，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程S时的速度。解：以系统为研究对象，受力如图。系统在运动过程中所有力所作的功为sgmRsMWasin2112系统在初始及终了两状态的动能分别为01T22221122111222CCTJmvJaFNFSm2gm1gFOxFOyMOC其中2111JmR22212CJmR11RvC22RvC于是)32(42122mmvTC由1212WTT得sgmRsMmmvCasin0)32(421212解之得)32()sin(221112mmRsgRmMvCaaFNFSm2gm1gFOxFOyMOC例8在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常力F，开始时系统静止，如图。求连杆OA运动到水平位置时的角速度。设连杆长均为l，质量均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。解：分析系统，初瞬时的动能为01T设连杆OA运动到水平位置时的角速度为，由于OA＝AB，所以杆AB的角速度也为，且此时B端为杆AB的速度瞬心，因此轮B的角速度为零，vB=0。系统此时的动能为222222222112211111()()23233OBTJJmlmlmlOaAFBvAvB系统受力如图所示，在运动过程中所有的力所作的功为122(sin)sin2()sinlWmgFlmgFlaaa2210()sin3mlmgFla解得3()sinmgFlmaOaAFBmgmgFSFNm1gFOxFOy1212WTT由得例9已知：J1，J2，R1，R2，i12=R2/R1M1，M2。求轴Ⅰ的角加速度。ⅠⅡM1M2解：取系统为研究对象2222112121210JJTT21121221jjRRi由运动学可知：21212212)(21iJJT主动力的功：11221221112)(jjjiMMMMW由动能定理得：112212121221)(0)(21jiMMiJJ将上式对时间求导，并注意1111,jadtddtd解得：)()(2122112211iJJiMMaⅠⅡM1M2例10两根完全相同的均质细杆AB和BC用铰链B连接在一起，而杆BC则用铰链C连接在C点上，每根杆重P＝10N，长l＝1m，一弹簧常数k＝120N/m的弹簧连接在两杆的中心，如图所示。假设两杆与光滑地面的夹角＝60º时弹簧不伸长，一力F＝10N作用在AB的A点，该系统由静止释放，