高三三角函数试卷及详细答案

..一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知α∈(π2，π)，sinα＝35，则tan(α＋π4)等于()A.17B．7C．－17D．－72．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是()A．2πB．4πC.π4D.π23．“等式sin(α＋γ)＝sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝2sin(π3－x)＋cos(π6＋x)(x∈R)的最小值等于()A．－3B．－2C．－1D．－55．已知△ABC的周长为4(2＋1)，且sinB＋sinC＝2sinA，则角A的对边a的值为()A．2B．4C.2D．226．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－12B.12C．－1D．17．已知函数f(x)＝2sinωx(ω0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最..小值等于()A.23B.32C．2D．38．(2011·浙江)若0απ2，－π2β0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝()A.33B．－33C.539D．－699．已知θ为第二象限角，且cosθ2＝－12，那么1－sinθcosθ2－sinθ2的值是()A．－1B.12C．1D．210．(2013·大纲全国)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是()A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B．y＝f(x)的图像关于直线x＝π2对称C．f(x)的最大值为32D．f(x)既是奇函数，又是周期函数11.把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的图像向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω，φ的值分别为()A．1，π3B．1，－π3..C．2，π3D．2，－π312．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω0，－πφ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则（)A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知tan2θ＝2tan2φ＋1，则cos2θ＋sin2φ的值为________．14．在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.15．(2013·课标全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.16．下面有五个命题：①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝kπ2，k∈Z}．③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图像和函数y＝x的图像有三个公共点．④把函数y＝3sin(2x＋π3)的图像向右平移π6得到y＝3sin2x的图像．⑤函数y＝sin(x－π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．..18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．19．(本小题满分12分)(2013·大纲全国)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sinAsinC＝3－14，求C.20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ac＝a2＋c2－b2.(1)求角B的大小；(2)若|BA→－BC→|＝2，求△ABC面积的最大值．21．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，AB→·AC→＝8，∠BAC＝θ，a＝4.(1)求bc的最大值及θ的取值范围．(2)求函数f(θ)＝23sin2(π4＋θ)＋2cos2θ－3的最值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(1＋1tanx)sin2x＋msin(x＋π4)sin(x－π4)．(1)当m＝0时，求f(x)在区间[π8，3π4]上的取值范围；(2)当tanα＝2时，f(α)＝35，求m的值．..答案一、选择题1．答案，A解析，∵α∈(π2，π)，sinα＝35，∴cosα＝－45，tanα＝－34.∴tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝17.2．答案，D解析，y＝sin2xcos2x＝12sin4x，所以最小正周期为T＝2π4＝π2.3．答案，B解析，若等式sin(α＋γ)＝sin2β成立，即α＋γ＝2β＋2kπ，或α＋γ＋2β＝π＋2kπ，k∈Z；若α，β，γ成等差数列，即α＋γ＝2β，可得等式sin(α＋γ)＝sin2β成立．4．答案，A解析，y＝2sin(π3－x)＋cos(π6＋x)＝2cos[π2－(π3－x)]＋cos(π6＋x)＝2cos(π6＋x)＋cos(π6＋x)＝3cos(π6＋x)．当x＝56π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－3.5．答案，B解析，因为sinB＋sinC＝2sinA，所以由正弦定理得b＋c＝2a，又周长为4(2＋1)，所以a＝4.6．答案，D解析，∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B...∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.7．答案，B解析，方法一：画图知[－π3，π4]内包含最小值点，∴T4≤π3，即π2ω≤π3，∴ω≥32.方法二：∵f(x)＝2sinωx(ω0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2时，ωx＝2kπ－π2，x＝2kπω－π2ω(k∈Z)，∴－π3≤2kπω－π2ω≤π4，得ω≥8k－2，ω≥－12k＋32⇒ω≥32.8．答案，C解析，根据条件可得α＋π4∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)，所以sin(α＋π4)＝223，sin(π4－β2)＝63.所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539.9．答案，C解析，由θ为第二象限角知θ2在第一、三象限，又由cosθ2＝－120知θ2是第三象限角，且cosθ2sinθ2.故1－sinθcosθ2－sinθ2＝cosθ2－sinθ22cosθ2－sinθ2＝cosθ2－sinθ2cosθ2－sinθ2＝1.10．答案，C解析，由题意知f(x)＝2cos2x·sinx＝2(1－sin2x)sinx...令t＝sinx，t∈[－1,1]，则g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3.令g′(t)＝2－6t2＝0，得t＝±33.当t＝±1时，函数值为0；当t＝－33时，函数值为－439；当t＝33时，函数值为439.∴g(t)max＝439，即f(x)的最大值为439.故选C.11.答案，D解析，由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π3＋π3)＋φ＝π.∴φ＝－π3.故选D.12．答案，A解析，∵T＝6π，∴ω＝2πT＝2π6π＝13.又∵f(π2)＝2sin(13×π2＋φ)＝2sin(π6＋φ)＝2，∴π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝π3＋2kπ，k∈Z.又∵－πφ≤π，∴φ＝π3.∴f(x)＝2sin(x3＋π3)．∴f(x)的单调递增区间为[－52π＋6kπ，π2＋6kπ]，单调递减区间为[π2＋6kπ，72π＋6kπ]，k∈Z.观察各选项，故选A.二、填空题13．答案，0解析，由tan2θ＝2tan2φ＋1，得cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－tan2φtan2φ＋1...∴cos2θ＋sin2φ＝－tan2φtan2φ＋1＋sin2φ＝－sin2φ＋sin2φ＝0.14．答案，，255，210解析，∵tanA＝sinAcosA＝2，∴sinA＝255.又∵b＝5，B＝π4，根据正弦定理，得a＝bsinAsinB＝5×25522＝210.15．答案，－255解析，f(x)＝sinx－2cosx＝5(15sinx－25cosx)，令cosα＝15，sinα＝－25，则f(x)＝5sin(α＋x)．当x＝2kπ＋π2－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值5，即θ＝2kπ＋π2－α(k∈Z)，所以cosθ＝cos(2kπ＋π2－α)＝cos(π2－α)＝sinα＝－25＝－255.16．答案，①④解析考查①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，所以最小正周期为π.②k＝0时，α＝0，则角α终边在x轴上．③由y＝sinx在(0,0)处切线为y＝x，所以y＝sinx与y＝x图像只有一个交点．④y＝3sin(2x＋π3)图像向右平移π6个单位得y＝3sin[2(x－π6)＋π3]＝3sin2x.⑤y＝sin(x－π2)＝－cosx在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．三、解答题17．答案，偶函数，{y|－1≤y12或12y≤2}..解析，由cos2x≠0，得2x≠kπ＋π2，解得x≠kπ2＋π4，k∈Z.所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ2＋π4，k∈Z}．因为f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝6cos4－x＋5sin2－x－4cos－2x＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．当x≠kπ2＋π4，k∈Z时，f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x＝2cos2x－13cos2x－1cos2x＝3cos2x－1，所以f(x)的值域为{y|－1≤y12或12y≤2}．18．答案，(1){x∈R|x≠kx，k∈Z}，T＝π(2)[kπ＋3π8，kπ＋7π8](k∈Z)解析，(1)由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z)．故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝(sinx－cosx)sin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin(2x－π4)－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，..得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋3π8，kπ＋7π8](k∈Z)．19．答案，(1)120°(2)15°或45°解析，(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝－12，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝12＋2×3－14＝32.故A－C＝30°或C－A＝30°，因此C＝15°或C＝45°.20．答案(1)π3，(2)3解析(1)∵在△ABC中，ac＝a2＋c2－b2，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝12.∵B∈(0，π)，∴B＝π3.(2)∵|BA→－BC→|＝2，∴|CA→|＝2，即b＝2.∴a2＋c2－ac＝4.∵a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c＝2时等号成立，∴4＝a2＋c2－a