2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第6章 数列―等比数列

学案3等比数列返回目录1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从起，每一项与它的的比等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示.其数学表达式为：（q为常数）或（q为常数）（n≥2）,常用定义判断或证明一个数列是等比数列.第2项前一项同一公比q(q≠0)qaan1n=+qaa-1nn=返回目录2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式an=.通项公式的变形为an=amqn-m，也可写为qn-m=常用此求通项公式中的公比q.当公比q≠1时an=可以看成函数y=c·qx，是一个不为零的常数与指数函数的乘积.因此，数列{an}各项所对应的点都在y=cqx图象上.3.等比中项如果三个数x，G，y组成，则G叫做x和y的等比中项，那么，即G2=.mnaan1·qqaGyxG=x·ya1·qn-1等比数列返回目录4.等比数列的单调性等比数列{an}中，公比为q，则当a1＞0,q＞1,或a1＜0，0＜q＜1时，数列{an}为；当a1＞0,0＜q＜1,或a1＜0，q＞1时，数列{an}为；当q=1时，数列{an}为；当q＜0时，数列{an}为.5.等比数列的前n项和公式如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，①当q=1时，Sn=；②当q≠1时，Sn==.其推导方法为.递增数列递减数列常数列摆动数列n·a1q-1qa-an1q-1)q-(1an1错位相减法6.等比数列的性质若数列{an}为等比数列，m，n，p，q∈N*,且m+n=p+q，则am·an=.{an}是等比数列，则{λan},{|an|}成数列,公比分别是；按顺序抽出间隔相同的项组成的新数列.{an}成等比数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，公比为.返回目录qmap·aq等比q和|q|成等比数列成等比数列返回目录考点一等比数列的证明【分析】首先证明该数列为等比数列，得出公式，再求出首项便可写出通项公式.数列｛an｝的前n项和为Ｓｎ，Ｓｎ＝（ａｎ－１）（ｎ∈Ｎ*（１）求ａ１，ａ２；（２）证明：数列｛ａｎ｝是等比数列.31返回目录【解析】（１）由Ｓ１＝（ａ１－１），得ａ１＝（ａ１－１），∴ａ１又Ｓ２＝（ａ２－１），即ａ１＋ａ２＝（ａ２－１），得ａ２（２）证明：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)，得.∴｛ａｎ｝是首项为－，公比为－的等比数列.∴313121313141313121aa-1nn2121n)21-(an=返回目录【评析】若用为常数证明等比数列，不要忘记单独验证n=1时的情况.（2）要想到利用等比数列的通项公式，需先证明该数列是等比数列.n1naa+＊对应演练＊在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.(1)证明:数列{an-n}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)证明:不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.返回目录(1)由题设an+1=4an-3n+1,得an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*.又a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列.(2)由(1)可知an-n=4n-1,于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n.所以数列{an}的前n项和Sn=返回目录.21)n(n31-4n++返回目录(3)对任意的n∈N*,Sn+1-4Sn=-4〔〕=-(3n2+n-4)≤0.所以不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.22)1)(n(n31-41n++++22)1)(n(n31-4n+++21返回目录考点二等比数列基本量的计算在等比数列{an}中，已知a6-a4=24,a3·a5=64,求{an}前8项的和S8.【分析】利用已知的两个等式条件，可得a1和q的两个方程，解之可得数列{an}，从而S8便可求得.返回目录【解析】解法一：设数列{an}的公比为q，依题意a6-a4=a1q3(q2-1)=24①a3·a5=(a1q3)2=64,∴a1q3=±8.将a1q3=-8代入①式，得q2-1=-3,q2=-2，舍去.将a1q3=8代入①式，得q2-1=3,q=±2.当q=2时,a1=1，S8==255；当q=-2时,a1=-1,S8==85.1-q1)-(qa811-q1)-(qa81{返回目录解法二：∵{an}是等比数列，∴依题设得,∴a4=±8,a6=24+a4=24±8,∵{an}是实数列，∴,故舍去a4=-8,得a4=8,a6=32.从而a5==±16,公比q的值为q==±2.当q=2时，a1=a4·q-3=1,a9=a6·q3=256,∴;当q=-2时，a1=a4·q-3=-1,a9=a6·q3=-256,∴.64·aaa5324==0aa46·aa6445aa255q-1a-aS9185q-1a-aS9188【评析】(1)等比数列{an}中,an=a1qn-1,Sn=中有五个量,可以知三求二.(2)注意分类讨论的应用.返回目录q-1)q-(1an1返回目录＊对应演练＊设等比数列{an}的公比q1,前n项和为Sn,已知a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.返回目录由题设知a1≠0,Sn=,则a1q2=2①，②由②,得1-q4=5(1-q2),即(q2-4)(q2-1)=0,∴(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0.由q1,解得q=-1或q=-2.当q=-1时,代入①得a1=2,通项公式an=2×(-1)n-1;当q=-2时,代入①得a1=,通项公式an=×(-2)n-1.q-1)q-(1an1q-1)q-(1a5q-1)q-(1a21412121返回目录在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=8且=2,求a3.【分析】(1)由已知条件可得a1与公比q的方程组，解出a1，q，再利用通项公式即可得a3.(2)也可利用性质=a1·a5=a2·a4直接求得a3.考点三等比数列的性质54321a1a1a1a1a1++++23a【解析】解法一：设公比为q，显然q≠1,∵{an}是等比数列,∴{}也是等比数列,公比为.解得=4,∴,∴a3=±2.返回目录na1q12q1-1)q1-(1a18q-1)q-(1a5151==由已知条件得{421qa4)q(aa22123==返回目录解法二:由已知得∴=4.∴a3=±2.【评析】在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q，则am·an=ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.2a8aaaaaaaaaaaaaaaaa1a1a1a1a12323543212334242515154321==++++=++++=++++23a返回目录＊对应演练＊已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列{an}的通项公式.设符合题设的等比数列{an}中的连续三项为am，am+1，am+2，则am+1=amq，am+2=am+1q（q为公比），两式相减，得，又am+1=am+(k-t)d,即am+1-am=(k-t)d,同理am+2-am+1=(p-k)d(d为公差),故,∴所求通项公式为.返回目录m1m1m2ma-aa-aq+++=t-kk-pt)d-(kk)d-(pq==-1n1n)t-kk-p(aa=返回目录已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=(3n+Sn)，对一切正整数n恒成立.（1）证明：数列{3+an}是等比数列；（2）数列{an}中是否存在成等差数列的四项？若存在，请求出一组，若不存在，请说明理由.【分析】利用an与Sn之间的关系寻求突破口.考点四等比、等差数列的综合问题21【解析】（1）证明：由已知，得Sn=2an-3n（n∈N*）,∴Sn+1=2an+1-3(n+1),两式相减得an+1=2an+1-2an-3，即an+1+3=2（an+3）.∴，又∵a1=S1=2a1-3，∴a1=3，a1+3=6.故数列{an+3}是首项为6，公比为2的等比数列.返回目录23a3an1n=+++返回目录（2）由（1）知an+3=6·2n-1，∴an=6·2n-1-3=3·2n-3.假设{an}中存在四项依次为（m1＜m2＜m3＜m4）,它们可以构成等差数列，则（3·-3）+（3·-3）=（3·-3）+（3·-3），即+=+,上式两边同除以,得1+=+①∵m1,m2,m3,m4∈N*,且m1＜m2＜m3＜m4,∴①式的左边是奇数，右边是偶数，∴①式不能成立.∴数列{an}中不存在构成等差数列的四项.,a,a,a,a4321mmmm1m24m22m23m21m24m22m23m214m-m212m-m213m-m21m2返回目录【评析】数列{an+3}构成等比数列，并不是{an}为等比数列；再就是并不是相邻的四项，在设法上要注意.4321mmmma.a.a.a已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{Cn}对n∈N*均有成立，求c1+c2+c3+…+c2010.＊对应演练＊返回目录1nnn2211abcbcbc+=+…++(1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得d=2(∵d＞0).∴an=1+(n-1)·2=2n-1.又b2=a2=3，b3=a5=9，∴数列{bn}的公比为3.∴bn=3·3n-2=3n-1.返回目录返回目录（2）由得当n≥2时，.∴当n≥2时=an+1-an=2.∴cn=2bn=2·3n-1（n≥2）.又n=1时，=a2，∴c1=3.∴c1+c2+c3+…+c2010=3+2·3+2·32+…+2·32010-1=1+2·1+2·3+2·32+…+2·32009=1+2·=32010.1nnn2211abcbcbc+=+…++n-1n-1n2211abcbcbc=+…++nnbc11bc3-13-10102返回目录某林场有荒山3250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩（全部成活）.（1）问需要几年，可将此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树林每年自然增长率10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S，求S约为多少万立方米（精确到0.1）？【分析】将问题合理转化为等差、等比数列模型.考点五等比数列应用问题【解析】（1）每年植树的亩数构成一个以a1=100，d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.设需要n年可将此山全部绿化，则Sn=a1n+（n-1）d=100n+×50=3250.解此方程，得n=10（年）.返回目录2n21)-n(n返回目录（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1（1+0.1）10,第二年种植的树在第10年后的木材量为2a2（1+0.1）9,……,第10年种植的树在年底的木材量为2a10（1+0.1）,第10年后的木材量依次构成数列{bn}，则其和为T=b1+b2+…+b10=200×1.110+300×1.19+…+1100×1.1≈1.0(万立方米).答：需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为1.0万立方米.返回目录【评析】数列应用问题是考查分析问题、解决问题的好素材.它要求有较强的阅读理解能力，捕捉信息的能力和归纳抽象的能力.返回目录＊对应演练＊为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%（可参考数据lg2=0.3,最后结果精确到整数）？返回目录设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a1=，经过n年后绿洲面积为an+1，设2