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学案1直线的方程返回目录一、倾斜角与斜率1.倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为.因此,直线的倾斜角α的取值范围为.直线l向上方向之间所成的角α0°［0°,180°)返回目录2.斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即k=.倾斜角是90°的直线没有斜率.3.斜率公式：经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k=.二、两条直线平行与垂直的判定1.两直线平行（1）对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(b1≠b2).l1∥l2.（2）对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,tanαx-xy-y1212⇔⇔k1=k2A1B2-A2B1=0A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0){l2:A2x+B2y+C2=0.l1∥l2返回目录2.两直线垂直（1）对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.l1⊥l2.（2）对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.l1⊥l2.三、直线的方程1.点斜式：表示过(x0,y0)点且斜率为k的直线.2.斜截式：表示过(0,b)点且斜率为k的直线.k1k2=-1⇔⇔A1A2+B1B2=0y-y0=k(x-x0)y=kx+b3.两点式：表示过两点P1(x1,y1)，P2（x2,y2）(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程.4.截距式：表示过两点(a,0),(0,b)(ab≠0)的直线方程.5.一般式：.返回目录121121x-xx-xy-yy-y=Ax+By+C=0(其中A，B不同时为0)1byax=+返回目录若a∈〔,),则直线2xcosα+3y+1=0的倾斜角的取值范围是（）A.〔,)B.〔,)C.〔0,),D.〔,),【分析】从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围，再确定倾斜角范围.考点一直线的倾斜角与斜率6π2π6π2π65ππ6π65π2π返回目录【解析】设直线的倾斜角为θ，则tanθ=-cosα.又α∈〔,),∴0cosα≤,∴-≤-cosα＜0.即-≤tanθ＜0,注意到0≤θ＜π,∴≤θ＜π.故应选B.326π2π2333323365π【评析】（1）求一个角的范围，是先求这个角某一个函数值的范围，再确定角的范围.（2）在已知两个变量之间的关系式要求另一个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得到另一个变量的范围，本题中，在tanθ=-cosα-≤-cosα＜0时，是利用余弦函数的单调性放缩的，其目的是消去变量α得到角θ的正切值范围.返回目录323233⇒＊对应演练＊设＜α＜π，则直线y=xcosα+m的倾斜角的取值范围是（）A.(,π)B.(,π)C.(,π)D.(π，π)D(∵＜α＜π,∴k=cosα∈(-1,0).∴倾斜角θ∈(π,π).故应选D.)2π2π2π4343434π2π43返回目录返回目录求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;(2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-;(3)过点A(1,-1),与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点且|AB|=5.【分析】选择适当的直线方程形式,把所需要的条件求出即可.考点二求直线方程41返回目录【解析】(1)解法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.①若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),∴l的方程为y=x,即2x-3y=0.②若a≠0,则设l的方程为,∵l过点(3,2),∴,∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0.综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.321ayax=+1a2a3=+返回目录解法二:由题意,所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0,得x=3-;令x=0,得y=2-3k.由已知3-=2-3k,解得k=-1或k=,∴直线l的方程为:y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.k2k23232(2)设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.又直线经过点A(-1,-3),因此，所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.(3)过点A(1,-1)，与y轴平行的直线为x=1.x=12x+y-6=0,求得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5,即x=1为所求.设过A(1,-1),且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1),返回目录414343{解方程组2x+y-6=0y+1=k(x-1),x=y=(k≠-2,否则与已知直线平行).则B点坐标为(,).由已知(-1)2+(+1)2=52,解得k=-,∴y+1=-(x-1),即3x+4y+1=0为所求.返回目录{解方程组得两直线交点为{2k7k++2k2-4k+2k7k++2k2-4k+2k7k++2k2-4k+4343【评析】在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.返回目录返回目录＊对应演练＊求经过点A（-5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.(1)当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为y=kx，将（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此时，直线方程为y=-x，即2x+5y=0.(2)当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.52521ay2ax=+21返回目录已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.（1）l1⊥l2，且l1过点(-3,-1);（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.【分析】可利用所求直线和已知直线的平行和垂直关系来确定a,b的值，另外直线方程中含有字母参数，应分类讨论.考点三两条直线的平行与垂直返回目录【解析】（1）由已知可得l2的斜率必存在，∴k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,即a=1.∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b=0.又∵l1过(-3,-1),∴-3a+b=0,即b=3a（不合题意）.∴此种情况不存在，即k2≠0.若k2≠0,即k1,k2都存在，∵k1=1-a,k2=,l1⊥l2，∴k1·k2=-1,即(1-a)=-1.①又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.②由①②联立，解得a=2,b=2.baba返回目录（2）∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在.∴k1=k2.即=1-a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2,∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数.即=b.④a=2a=,b=-2b=2.∴a,b的值为2和-2,或和2.bab43232由③④联立,解得或{{返回目录【评析】当所求直线的方程中存在字母系数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于（1）,若用l1⊥l2A1A2+B1B2=0可不用分类讨论.⇔返回目录＊对应演练＊已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a-1）y+a2-1=0.（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1⊥l2时，求a的值.（1）解法一：当a=1时，l1：x+2y+6=0，l2：x=0，l1不平行于l2；当a=0时，l1：y=-3，l2：x-y-1=0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y=-x-3，l2：y=x-（a+1），=-3≠-(a+1),综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.返回目录2aa-112-aa-11l1∥l2解得a=-1.{⇔解法二：由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0,由A1C2-A2C1≠0,得a（a2-1）-1×6≠0,a(a-1)-1×2=0a(a2-1)-1×6≠0a2-a-2=0a(a2-1)≠6故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.返回目录∴l1∥l2a=-1.{⇔{⇔⇒（2）解法一：当a=1时，l1：x+2y+6=0，l2：x=0，l1与l2不垂直，故a=1不成立.当a≠1时，l1：y=-x-3，l2：y=x-（a+1），由(-)·=-1a=.解法二：由A1A2+B1B2=0，得a+2（a-1）=0a=.返回目录2aa-112aa-113232⇒⇒返回目录考点四直线方程的应用为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外△EFA内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应如何设计才能使草坪面积最大?【分析】建立直角坐标系,求出EF的方程,进而求解.【解析】如图所示建立直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),∴线段EF的方程为(0≤x≤30).在线段EF上取点P(m,n),作PQ⊥BC于点Q,PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S,则S=|PQ||PR|=(100-m)(80-n).又(0≤m≤30),∴n=20(1-).∴S=(100-m)80-20+m=-(m-5)2+(0≤m≤30).∴当m=5时,S有最大值,这时∴当草坪矩形的两边在BC,CD上,一个顶点在线段EF上,且这个顶点分EF成5:1时,草坪面积最大.返回目录120y30x=+120n30m=+30m32323050181.:555-30|PF||EP|==返回目录【评析】用解析法解决实际问题,就是在实际问题中建立直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而把问题转化为代数问题,利用代数的方法使问题得到解决.＊对应演练＊过点P(2,1)作直线l分别与x,y轴正半轴交于A，B两点.（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；（2）当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程；（3）当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程.返回目录（1）解法一：设直线l的方程为(a0,b0),则|OA|=a,|OB|=b,∴S△AOB=ab,又点P在直线l上，∴+=1.∵a0,b0,∴+≥2,即2≤1,∴ab≥8.即S△AOB最小值为4，当且仅当，即a=4,b=2时取“=”，此时，直线方程为x+2y-4=0.返回目录1byax=+21a2b1a2b1ab2ab221=b1=a2解法二：设l的方程为y-1=(-t)(x-2)(其中t0),A点坐标为(+2,0),B点坐标为(0,2t+1),∴S△AOB=(2t+1)·(+2)=(+4t+4)≥(2+4)=4.当且仅当=4t即t=时取“=”,此时，所求直线方程是x+2y-4=0.返回目录t121t121t121·4tt1t121（2）解法一：设l的方程为(a0,b0),则由P在l上得,|OA|+|OB|=a+b,∴a+b=(a+b)()=3++≥3+2,当且仅当即a=b时“=”成立，∴直线方程为x+y-(2+)=0.返回目录1byax=+1b1a2=+b1a2+baa2b2baa2b=222解法二：设直线方程为y-1=-t(x-2)(t0),∵|OA|=+2,|OB|=2t+1,∴|OA|+|OB|=+2t+3≥2+3,当且仅当=2t,即t=时取“=”,此时直线方程为x+y-(2+)=0.返回目录t1t12t12222（3）解法一：设直线方程为y-1=-t(x-2)(t0),则A(+2,0),B(0,2t+1),∴|PA|=,|PB|=∴|PA|·|PB|=·=2=2(t+)≥4.当且仅当t=，即t=1时等号成立，这时直线l的方程为x+y-3=0.t11t12+,4t42+1t12+,4t42+2t1t22++t1t1返回目录解法二：如图，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，设∠BAO=α,在R