赵树�微积分-第二章

rxdtdx第二章极限与连续),(nfyn上的函数一个定义在正整数集合,,3,2,1依次增大的顺序取值时按正整数当自变量n:成一列数函数值按对应的顺序排),(,),3(),2(),1(nffff。称数列，简记称为一个无穷数列，简}{:ny。称为数列一般项或通项)(nf定义1：§2.1数列的极限;,161,81,41,21,21:1:数列为一般项为例数列的例子nny,11:2nyn一般项为例;,45,34,23,2数列为,1,1,1,1数列为;1,0,1,0数列为,2:3nyn一般项为例,2)1(1:4nny一般项为例,)1(:51nny一般项为例;,8,6,4,2数列为1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nyyy2.数列是整标函数：).(nfyn２.１.２数列的极限.})1({1时的变化趋势当观察数列nnn71-61-51-41-31-21-11-})1({65432101）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（写成如下形式：将数列nn7161514131211，，，，，，即：靠近！时数列无限向当0n.0})1({1时无限趋于当数列nnn.101})1(1{1时无限趋于当观察数列nnn观察例1、2、3、4、5中的数列的极限思考数列的有界性与有极限之间的关系?32122limnnnn32421321323232122222nnnnnnnnnnn324322122nnnnn32432212nnnn0322nn03242nn132432212nnnn1.数列的极限存在情况与数列的前有限项无关，2、收敛数列不等于有限数列，比如.n)1(所以如果只改变一个数列的有限项则不会改变数列的极限的存在情况以及极限值的大小！2定义如果对于任意给定的正数，总存在正整数N，N-Any使得对于n时，恒成立，nA则称是数列y,nyA或者称数列收敛于记为lim=A,ynnnnyA或（当）,.如果数列没有极限就说数列是发散的的极限，y1y2y2Ny1Ny3y几何解释:.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn:定义Nlim0,0,,.nnnyaNnNya使时恒有例61)11(limlimnynnn用定义证明证1nyn1,0,1ny要,1n只要,1n或所以,],1[N取,时则当Nn1ny就有.1)11(limnn即例7132122limnnnn用定义证明证1ny)4(32324213212222的情况不妨考虑nnnnnnnnnnn,0,1ny要,3n只要,3n即所以,],3[N取,时则当Nn1ny就有1321:22limnnnn即(一)的极限时函数当)(xfyx考虑当，函数的变化情况xxy1Oxy.01limxx§2.2函数的极限定义：对任意的正数，如果总存在一个正数X，()-,xXfxA使得当时，则称当x时，()Afx以为极限，lim()=.xfxA记为:.10情形x.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当:.20情形xAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim的理解：xAxfx)(lim:定理.)(lim)(limAxfAxfxx且由图容易看出：,2arctanlimxx,2arctanlimxx.arctanlim不存在由定理可知：xx例1.01limxx证明证xx101x1X1,,0,1X取时恒有则当Xx,01x.01limxx故例２0lim,10:xxqq时当用定义证明证,lnln,0ln,10.lnln,0)(,10,0因此于是知由于得要使qxqqqxqqAxfxx0lim,10,0)(,,lnlnxxxxqqqqAxfXxqX时当所以有时当取（二）的极限时函数当)(0xfyxx2)(xxfy0x)(xf问题:函数在的过程中,对应将如何表现？函数值Oxy0lim20xx问题:函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.000的过程表示xxxxx0x0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx2定义,如果对于任意给定的正数,总存在正数0-()-,xxfxA使得当0时，满足00A(),lim()=.xxfxxxfxA则就叫函数当时的极限记作定义.)(,00,0,0Axfxx恒有时使当}0{}0{}0{:000xxxxxxxxx注意几何解释:)(xfyAAA0x0x0xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx注意：;0)(.1是否有定义无关在点函数极限与xxf..2有关与任意给定的正数例3).(,lim0为常数证明CCCxx证Axf)(CC,成立,0任给0.lim0CCxx,0任取,00时当xx例4.lim00xxxx证明证,)(0xxAxf,0任给,取,00时当xx0)(xxAxf,成立.lim00xxxx例5.211lim21xxx证明证211)(2xxAxf,0任给,只要取,00时当xx函数在点x=1处没有定义.1x,)(Axf要使,2112xx就有.211lim21xxx左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作（三）单侧极限（左极限，右极限）}0{}0{}0{:000xxxxxxxxx注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作左极限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作右极限x从左侧无限趋近于x0x从右侧无限趋近于x0例6.lim).1(0xxx.lim).2(0xxx.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理.lim0不存在验证xxxxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例6证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0x时的极限是否存在及当讨论函数例10,110011)(:72xxxxxxxxf0lim)(lim;1)1(lim)(lim,0:20000xxfxxfxxxxx时解不存在即极限但不相等左极限和右极限存在)(lim:,0xfx定理(保序性)).()(),,(,0,)(lim,)(lim0000xgxfxUxBABxgAxfxxxx有则且设推论).0)((0)(,),(,0),0(0,)(lim000xfxfxUxAAAxfxx或时当则或且若定理(保号性)).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim000AAxfxfxUxAxfxx或则或时当且若推论);(,,0lim)1(o记作高阶的无穷小是比就说如果定义:.0,,且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果CC;~;,1lim记作是等价的无穷小与则称如果特殊地（3）如果,则称β是比α低阶无穷小。limba=¥一、极限运算法则定理（1）（2）都可以推广到任意有限个函数的情形.lim(),lim(),fxAgxB设则(1)lim[()()];fxgxAB(2)lim[()()];fxgxAB()(3)lim,0.()fxABgxB其中§2.5极限运算法则推论1即常数因子可以提到极限记号外面.推论2即乘方运算与极限运算可交换顺序.)132(lim:122xxx求例3123221lim3lim2lim:22222xxxxx原式解123lim:221xxxx求例这里分母的极限不为零解:)12(lim)3lim123lim12121xxxxxxxxx（41411lim:3231xxx求例11lim231xxx因此要化简这里分母的极限为零解,:)1)(1()1)(1(lim21xxxxxx2311lim21xxxx42lim:44xxx求例化简分母分子极限同时为零解,:42lim4xxx)2)(4()2)(2(lim4xxxxx)2)(4(4lim4xxxx)2(1lim4xx411lim:521xxx求例分母极限为零解:01lim21xxx无穷小量倒数无穷大量即无穷小量,1lim21xxx13124lim:6423xxxx求例:解44213124limxxxxx13124lim423xxxx030000)01lim(xx13124lim:7323xxxxx求例:解323113124limxxxxx13124lim323xxxxx0030043401limxx1313lim:834xxxx求例:解013124lim423xxxx知由例的次数的次数高于分母分子6,xx1313lim34xxxx关系得根据无穷小与无穷大的小结:为非负整数时有和当nmba,0,000mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当,,0,lim00110110无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.1.夹逼准则２.6.１极限存在准则(),()()xfxgxhx如果在某个变化过程中，函数和()()(),lim()=lim()=A,gxfxhxgxhx满足且lim()=A.fx则§2.6两个重要极限0sinlim:10xx证明例xABROBxxAOBx,1),20(2:设圆心角作单位圆设证明xxABABxxOBABsin0,,sin2sin.2大于线段弧oBDAx00lim0,:limsin0xxxx而夹逼定理可知,0,sin0,2xxx同理当时有00lim0,limsin0xxxx而0limsin0xx故1coslim:20xx证明例2sin2cos10:2xx因为证明,2时当xxxsin2)2(22sin2222xxx:,02lim20夹逼定理可知而xx0)cos1(lim0xx1coslim0xx2