赵树�微积分第四版第七章 无穷级数

1第七章无穷级数2齐诺悖论—阿基里斯与乌龟公元前五世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：如果让阿基里斯(Achilles，古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟仍然前于他10米，…，如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是荒谬的，但奇怪的是，这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿呢？3第一节无穷级数的概念无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。计算圆的面积R正六边形的面积正十二边形的面积1a21aa正形的面积n23naaa21naaaA21即41、级数的定义：nnnuuuuu3211—(常数项)无穷级数niinnuuuuS121,11uS,212uuS,,3213uuuS,21nnuuuS通项级数的前n项部分和数列}{nS52、级数的收敛与发散：对于级数1nnu,如果它的前n项部分和数列}{nS收敛如果数列}{nS没有极限,则称该无穷级数发散.即SSnnlim,Sunn1定义(设极限为S)，则称该无穷级数收敛，且称S为该级数的和，并记为6解)1(1nnun,111nn)1(1321211nnSn)111()3121()211(nn111n,)(1n例1讨论无穷级数)1(1321211nn的收敛性.所以级数收敛，且和为1。7讨论级数1)11ln(nn的敛散性.解例2)11ln(nun)1ln(nnnSnln)1ln(2ln3ln1ln2lnn所以级数发散.,ln)1ln(nn所以8解，如果1q12nnaqaqaqaS，qqaan1,1||时当q0limnnqqaSnn1lim,1||时当qnnqlimnnSlim收敛发散例3讨论等比级数(几何级数)1211nnnaqaqaqaaq)0(a的收敛性.9，如果1||q,1时当q,1时当qanSn发散aaaa级数变为,lim不存在nnS发散综上所述，qa1发散当收敛当时时,1||,1||11qqaqnn1211nnnaqaqaqaaq)0(a，为偶数为奇数nnaSn,0,10齐诺悖论—阿基里斯与乌龟阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然发现在他前面一千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀，我明明知道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事呢？11AB假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！BB1B1B212如果我们从级数的角度来分析这个问题，齐诺的这个悖论就会不攻自破。101001000这是一个公比为1101q的几何级数,易求得它的和为，91111191000010111000设阿基里斯的速度为乌龟速度的10倍，则他跑完1000米时，乌龟又爬了100米；等阿基里斯跑完这段路，乌龟又向前爬了10米……，依次类推，阿基里斯需要追赶的全部路程为13也就是说,如果赛程比这个距离短,则乌龟胜；如果赛程恰好等于这个距离,则双方平分秋色；否则,阿基里斯就要在距离起点911111处追上并超过乌龟.，91111191000010111000思考题：还有没有其他方法解此题？,100010tt,91000t.91000010ts这里已经假定可以追上。14把循环小数232323.0表示成分数．解例4232323.032100231002310023(公比为1001的等比级数,收敛)1001110023.9923小课题：请编写一套把循环小数转化为分数的方法。324.09904423.99041915循环小数转化为分数的方法：第一型：naaa21.0nnnnaaaaaa221211010nnnaaa1011102111021nnaaa.99921个nnaaa个nnnaaaaaa999.0212116,9770.,9923320..9994577540.例如：个nnnaaaaaa999.0212117第二型：nmaaabbb2121.0nmnnmnmmaaaaaabbb2212121101010nnmnmmaaabbb101110102121mnnmmaaabbb101110102121个个mnnnmaaabbb000999)110(2121.000999212121个个mnmnmbbbaaabbb18例如：个个mnmnmnmbbbaaabbbaaabbb000999.02121212121124.0,990417990442138756.0,9990056727999005656783612045.0.99900045171999000454521619第二节无穷级数的基本性质设级数1nnu、1nnv及1)(nnnvu的部分和分别为nnnBA及,，如果级数1nnu、1nnv都收敛,则1)(nnnvu.)(111nnnnnnnvuvu也收敛，且有性质1证且,lim,limBBAAnnnnniiinvu1)(niiniivu11nnlim)(limnnnBA,limlimBABAnnnn.)(111nnnnnnnvuvu此即,nnBA20说明：(1)不能由1)(nnnvu收敛推出1nnu、1nnv收敛；(2)若1nnu收敛,而1nnv发散,则1)(nnnvu必发散.证假设1)(nnnvu收敛,由nnnnuvuv)(,而已知1nnu收敛,由上述性质得1nnv收敛,矛盾.所以1)(nnnvu发散.21设k是非零常数,则级数1nnu与级数1nnuk具有相同的敛散性，且当1nnu收敛时，等式11nnnnukuk成立．性质2证设级数1nnu收敛,且Sunn1,又设1nnu与1nnuk的部分和分别为nnS及，niinuk1niiuk1,nSknnnnSklimlim,limSkSknn22niinuk1niiuk1,nSknnnnSklimlim,limSkSknn所以级数1nnuk收敛，且11nnnnukuk．反之，若1nnuk收敛（0k），则111nnnnuukk也收敛．23性质3去掉、添加或改变级数中的有限项，不会影响它的敛散性.这是因为，去掉、添加或改变级数中的有限项后所得数列的部分和数列与原级数的部分和数列只相差一个常数，所以具有相同的敛散性。注意：原级数若收敛，则改变级数中的有限项后，一般要改变它的和.24性质4收敛级数任意加括号后仍收敛，且其和不变.证记级数1nnu的部分和数列为nkknuS1,加括号后的级数的部分和数列记为}{nA,)()()(987654321uuuuuuuuu,21SA,52SA,93SA例如，,25证则}{nA实际上是}{nS的一个子数列,故由}{nS的收敛性可知}{nA的收敛性,且其极限不变.记级数1nnu的部分和数列为nkknuS1,加括号后的级数的部分和数列记为}{nA,性质4收敛级数任意加括号后仍收敛，且其和不变.注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(推论发散级数去括号仍发散。例如26性质5(级数收敛的必要条件)若级数1nnu收敛,则必有0limnnu.证,1nnnSSu)(limlim1nnnnnSSuSS.01limlimnnnnSS设1nnu的部分和数列为nS，且SSnnlim，此定理说明，0limnnu是级数1nnu收敛的必要条件.27说明：1、如果级数的一般项不趋于零，则级数发散；1)1(4332211nnn例如级数发散；,0nu所以,1||nun2cos8cos4cos2cos，再如,012coslimn级数发散。若级数1nnu收敛,则必有0limnnu.?1)1(1nnn282、必要条件不充分：若0limnnu,级数却不一定收敛.再举一个重要例子：11312111nnn,01limnn,但级数是否收敛?如1)11ln(nn：,)(0)11ln(nn但级数发散。调和级数调和级数增加的速度非常缓慢，例如,301101010110nnS,300110010010110nnS那么调和级数到底的收敛还是发散？调和级数11312111nnn30证明：调和级数发散。nnSS2nn2）（nnnSS2limSS0于是矛盾，调和级数,21假设调和级数收敛，其和为S，所以级数发散。nnn21211111312111nnn,21证因为进一步的研究可以发现，虽然调和级数发散到正无穷大，但其发散的速度却是惊人的缓慢。这说明调和级数发散到正无穷大实在不是直接的计算所能得到的，由于调和级数发散到正无穷大的缓慢性，我们也可形象地称调和级数为一“坚韧不拔”的级数，另一方面它又提醒我们：人不可“貌相”，级数的敛散性不可凭“想象”，需要严格的证明。调和级数11312111nnn321.0)4531(nnn649.例1判断下列级数的敛散性：因为,310nn041nn都收敛，故原级数收敛，解且和为0)4531(nnn0041531nnnn41153111332.11005110321nn3.n216141211121nn收敛；发散。例1判断下列级数的敛散性：34第三节正项级数1、定义：，中各项均有如果级数01nnnuu这种级数称为正项级