赵树�微积分第四版第四章 中值定理与导数的应用

1微分中值定理与导数的应用第四章2第一节微分中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。3(0)预备定理——费马(Fermat)定理12几何解释：.0)()(),()(000xfxxfxbaxf可导，则在点且取得最值，内一点在若函数曲线在最高点或最低点如果有切线，则切线必然是水平的。xyo)(xfy4证明:。达到最大值证明在只就0)(xxf0)()(lim)(0000xxfxxfxfx由极限的保号性，设在0x的某邻域内恒有)()(0xfxf,于是对任意0x(xx0属于该邻域)，总有0)()(00xfxxfy,当0x时，0)()(00xxfxxfxy当0x时，0)()(00xxfxxfxy0)()(lim)(0000xxfxxfxfx所以50)()(lim)(0000xxfxxfxfx0)()(lim)(0000xxfxxfxfx又)(xf在0x处可导，)()()(000xfxfxf即有0)(0xf且0)(0xf,.0)(0xf所以6(一)罗尔(Rolle)定理xOyCbyf(x)AB几何解释：如果连续光滑的曲线yf(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(,f())，曲线在C点的切线是水平的。设函数)(xfy满足：(1)闭区间],[ba上连续;(2)开区间),(ba内可导;(3)端点函数值)()(bfaf,则至少存在一点),(ba,使得0)(f.a7证,)1(mM若,],[)(连续在baxf.mM和最小值必有最大值.)(Mxf则,0)(xf由此得),,(ba.0)(f都有.)2(mM若),()(bfaf),(afM设.)(),(Mfba使，由费马引理,.0)(f所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。),(bfM则8注意：f(x)不满足条件(1)f(x)不满足条件(3)f(x)不满足条件(2)BxOyAabxOyABabcxOyABab如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。9在],0[上连续,),0(内可导,且0)()0(ff,例1验证，xxfsin)(，xxfcos)(，0)2(f.),0(210xxxf3)(是定义在]3,(上的初等函数,所以它在]3,0[上是连续的;验证函数xxxf3)(在区间]3,0[上满足罗尔定理的所有条件,并求出定理中的.例2解xxxxf323)(,32)2(3xx在)3,0(内有定义,故)(xf在)3,0(内可导;0)3()0(ff,所以)(xf在]3,0[上满足罗尔定理的所有条件.显然)3,0(2，使0)(f。11不求导数，判断函数)3)(2)(1()(xxxxf的导数有几个零点，以及其所在范围。例3解0)3()2()1(fff，)(xf在]2,1[，]3,2[上满足罗尔定理的三个条件。)2,1(1，使0)(1f，1是)(xf的一个零点；)(xf是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间)2,1(及)3,2(内。思考：)(xf的零点呢？)3,2(2，使0)(2f，2也是)(xf的一个零点；12证明：可导函数)(xf的两个零点之间必有)()(xfxf的零点.例4证对)(e)(xfxgx使用罗尔定理,，)]()([e)(xfxfxgx)(xf的零点即为)(xg的零点,由罗尔定理可知,)(xg的两个零点之间必有)(xg的零点,而)(xg的零点即为)()(xfxf的零点,结论得证.类似，欲证)()(xfxf存在零点，取)(e)(xfxgx即可.13证设)(xf在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,且0)1(f，证明：存在,)1,0(使得.0)(1)(ff作辅助函数,)()(xfxxF)(xF在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,存在,)1,0(使得,0)()()(ffF例5原式改为.0)()(ff.0)(1)(,0ff所以由于,0)0(F,0)1()1(fF由罗尔定理，,)()()(xfxxfxF14证设)(),(xgxf在],[ba上可导,,0)(xg)(af,0)(bf证明存在,),(ba使.)()()()(gfgf作辅助函数,)()()(xgxfxh则,)()()()()()(2xgxgxfxgxfxh显然)(xh在],[ba上满足罗尔定理的条件,故存在,),(ba使,0)(h即.)()()()(gfgf例615得到将罗尔定理条件中去掉),()(bfaf如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点(a,b)内，使得几何意义：(二)拉格朗日(Lagrange)中值定理.,ABCAB行于弦该点处的切线平在至少有一点上在曲线弧.)()()(abafbffC2hxOyABaby=f(x)C117证明),(ba,使即abafbff)()()(.作辅助函数，)()()()()()(axabafbfafxfxF，0)()()()(abafbffF，0)()(bFaFF(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由罗尔定理，18xxfln)(,在e],1[上满足拉格朗日定理的条件,例7，xxf1)(1e)1()e(ff1e.1e)1()e()(fff使1e1，1，e),1(19解练习下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理定理的条件？如果满足，求出定理中的ξ。xxfarctan)(,]1,0[满足拉格朗日中值定理的条件；xxfarctan)(在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，,4010arctan1arctan11214.)1,0(20)10()()()(000xxxfxfxxf).10()(0xxxfy拉格朗日中值公式又称有限增量公式.，))(()()(abfafbf之间和介于ba或))](([)()(ababafafbf,10,特别地,或.的精确表达式增量y拉格朗日中值公式另外的表达方式：abafbff)()()(21如果在),(ba内恒有0)(xf,则)(xf在),(ba内为一常数.推论1),(,),(2121xxxxba内任取两点在)())(()()(211212xxxxfxfxf则，0)()(,0)(12xfxff.)()(12xfxf即由21,xx的任意性可知,)(xf常数,),(bax.证明在],[21xx上对)(xf使用拉格朗日定理,22如果)(xf和)(xg在),(ba内可导,且在),(ba内恒有)()(xgxf,则在),(ba内)(xf和)(xg最多相差一个常数.由推论1知Cxgxfx)()()(，作辅助函数)()()(xgxfx,则0)()()(xgxfx,推论2证明即得结论。23而2)0(f,故2)(xf,]1,1[x.证明恒等式2arccosarcsinxx,]1,1[x设xxxfarccosarcsin)(,]1,1[x01111)(22xxxf,)1,1(xCxf)(,)1,1(x且2)1()1(ff,类似可得：2cotarcarctanxx,Rx.例8证由推论1知,24利用拉格朗日定理证明不等式证明：aababb1lnln1,)0(ba令xxfln)(,在],[ba上利用拉格朗日定理,例9证，ababflnln1)(,ba,111ab.1lnln1aababb即得25练习.)1ln(1,0xxxxx时证明当证,],0[)(条件上满足拉格朗日定理的在xtf)0(),0)(()0()(xxffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111,11111x,11xxxx),1ln()(ttf设.)1ln(1xxxx即得26例10不妨设yx,令ttfsin)(,在],[yx上利用拉格朗日定理：而1|cos|,故|||sinsin|yxyx.在上式中令0y，即得),(yx,使)(cossinsinyxyx,证类似可证：，|||arctanarctan|yxyxRyx,，证明|||sinsin|yxyxRyx,推论，|||sin|xxRx27(三)柯西(Cauchy)中值定理设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点(a,b)内，使得)()()()()()(gfagbgafbf2、如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：;)()(1bgag、28xOyABf(b)f(a)g(a)g(b)C1g()C2g(h)柯西中值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为直线AB的斜率为曲线在点C1和C2的斜率为.)()(ddddddtgtftxtyxy,)()()()(agbgafbfk.)()(kgf设曲线AB是由参数方程)()(tfytgx)(bta所确定的.29证明易知F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的全部条件，因此，至少存在一点(a,b)，使首先可以断定)()(bgag,否则，若)()(bgag,由罗尔定理,),(ba,使0)(g,矛盾.作辅助函数，)]()([)()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF所以)()()()()()(gfagbgafbf.，0)()()()()()()(gagbgafbffF而0)(g,30对函数xxfcos)(，xxgsin)(在]2,0[上验证柯西中值定理的正确性.例11证显然,函数)(xf,)(xg在]2,0[上连续,在），（20内可导,且0cos)(xxg，)2,0(x,欲在），（20内找到一点使下式成立，,)()()0()2()0()2(gfggff，即cossin0110,1tan,204），（验证了柯西中值定理的正确性.31设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，)0(a，证明在),(ba内至少存在一点，使)()()]()([222fabafbf.例12证2)()()(22fabafbf32设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，)0(a，证明在),(ba内至少存在一点，使)()()]()([222fabafbf.例12证令2)(xxg，显然)(xf、)(xg在],[ba上连续，在),(ba内可导，由柯西定理，),(ba,使)()()()()()(gfagbgafbf，即)()()]()([222fabafbf.02)(xxg,，即