大学物理薛定谔方程(老师课件)

薛定谔方程第27章薛定谔ErwinSchrodinger奥地利人1887-1961创立量子力学获1933年诺贝尔物理学奖目录§1薛定谔方程§2无限深方势阱中的粒子Δ§4一维谐振子Δ§3量子隧穿效应•有了德布洛意提出的物质波，就应有一个与之对应波动方程。薛定谔对此提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。§1薛定谔方程1926年，在一次学术讨论会上，当年轻的薛定谔介绍完德布罗意关于粒子波动性假说的论文后，物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动方程。几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋地说：“你们要的波动方程，我找到了！”这个方程，就是著名的薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。由自由粒子波函数微分，得(,)(,)xtiExtt)(0e),(pxEtiΨtxΨ),(),(2222txΨpxtxΨ由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子mpE22＝tΨixΨm2222这就是一维自由粒子(无势场)的薛定谔方程。得一、自由粒子的薛定谔方程),(),(txpxtxix？推广到粒子在势场U(x,t)中运动2(,)2PEUxtm222(,)(,)(,)2ixtUxtxttmx二、在势场中运动粒子的薛定谔方程在一维势场U(x,t)中的粒子替换原来的E后得到△推广到三维：222222222xxyz一般的薛定谔方程：22(,)(,)(,)2rtiUrtrttm▽由自由粒子波函数微分，得(,)(,)xtiExtt)(0e),(pxEtiΨtxΨ),(),(2222txΨpxtxΨ由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子mpE22＝tΨixΨm2222这就是一维自由粒子(无势场)的薛定谔方程。得一、自由粒子的薛定谔方程),(),(txpxtxix？推广到粒子在势场U(x,t)中运动用分离变量法：将波函数写成(,)()()rtrft即时，)(rUU当势能与时间无关，三、定态薛定谔方程(,,,)(,,)()xyztxyzft代入薛定谔方程可得：()eiEtftψEψUψm222该方程不含时间，称为定态薛定谔方程。定态波函数EtizyxψtzyxΨe),,(),,,(振动因子数学上：E不论取何值，方程都有解。物理上：E只有取一些特定值,才能使方程的解满足波函数的物理条件（单值、有限、连续）。ψEψUψm222•这些特定的E值称为能量本征值•各E值对应的叫能量本征函数本征波函数•故该方程又称为：能量本征值方程)(rE•定态波函数:(,)()()()eiEtEEErtrftCr波函数的物理条件用来描写实物粒子的波函数应满足的物理条件1.标准条件：单值、有限、连续因为，粒子的概率在任何地方只能有一个值；不可能无限大；不可能在某处发生突变。2.归一化条件粒子在空间各点的概率总和应为l*在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)1.由粒子运动的实际情况正确地写出势函数U(x)2.代入定态薛定谔方程3.解方程4.解出能量本征值和相应的本征函数5.求出概率密度分布及其他力学量量子力学解题的一般思路：方势阱0)(xU)(xU是实际情况的极端化和简化例：金属内部自由电子的运动。0xU(x)=0U=a势函数)0(ax0)(xU,0(x)axU=一、一维无限深方形势阱§2无限深方势阱中的粒子粒子在0xa范围内自由运动，但不能到达x0或xa范围。1.定态薛定谔方程阱外：dd222()()2xExmxdd222()()2xExmx阱内：根据波函数有限()0,0xxax阱外:2.求通解二、薛定谔方程和波函数令222mEk阱内:()2()0xkx则：其通解为()cossinxAkxBkx)()()(rErrUm2223.由波函数的标准化条件定特解0AkxBxsin)((1)解的形式成为()cossinxAkxBkx通解为0(0)0x处应已有A=0，要求π,kan(1,2,3,)n0B，只能sinka等于零即()0xaa(2)222mEk0sinkaB又),,,(π32122222nnmaEn能量为：单值、有限条件已满足；由连续条件定特解：1)粒子能量只能取特定的分立值(能级)能量量子化2)最低能量不为零波粒二象性的必然结果讨论22212πmaE零点能),,,(π32122222nnmaEn能量：3)当n趋于无穷时能量趋于连续(3)定常数B•由波函数的归一化性质),,,(π)(3212nxanaxnsin1dxxxa)0()(*1sin022axkxBdaB2得于是，波函数(空间部分)),3,2,1(πnankax0()0,0xxax阱内阱外考虑到振动因子tEine是以x=0和x=a为节点的一系列驻波解。tnEinnex)(4.定态波函数(包括空间、时间部分))(π,,,321sin2nexanatnEin5.概率密度**ΦΦPn,,sin2122nxanaπax00xax,0a0xn,n2n=1E=E0(基态)E=4E0(第一激发态)E=9E0(第二激发态)n=2n=3n=4E=16E0(第三激发态)一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度粒子在阱中各处出现的概率密度不均匀n时，量子经典|2Ψn|an很大En0有限深势阱中粒子的概率密度2nx)(n=1n=2n=3Oax粒子在阱外不远处出现的概率不为零！从经典理论很难想象，但实验已证实了这种量子效应。？)(xUaxx,0,0axU0,01.一维有限宽方势垒0U)(xUaoxE§3势垒穿透----量子隧穿效应两块金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒从势垒左方射入的粒子，在各区域内的波函数：隧道效应EΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区Ψ3粒子从x=-处以确定能量E入射0UE2.隧道效应粒子的能量虽不足以超越势垒,但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过而进入的区域,所以形象地称之为势垒穿透或隧道效应。ax隧道效应的本质:源于微观粒子的波粒二象性量子物理：粒子有波动性遵从不确定原理只要势垒宽度x=a不是无限大粒子能量就有不确定量Ex=a很小时P和E很大EUE0mpE22mppE22经典:量子:隧道效应EΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区Ψ3经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的★如何理解？•经典•量子隧道效应扫描隧道显微镜（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）STM是一项技术上的重大发明用于观察材料表面的微观结构（不接触、不破坏样品）3.隧道效应的应用隧道二极管金属场致发射核的衰变…通过扫描可观测固体表面的微观结构.探针头还可吸附并搬动原子，形成人工微结构.应用：STM(扫描隧道显微镜1982年)1986年获诺贝尔物理学奖隧道电流反馈传感器参考信号显示器压电控制加电压扫描隧道显微镜示意图某种型号的扫描隧道显微镜原子搬迁：操纵原子不是梦“原子书法”1994年中国科学院科学家“写”出的平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米“原子和分子的观察与操纵”--白春礼插页彩图13硅单晶表面直接提走硅原子形成2纳米的线条1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面遂个移动氙原子拚成了字母IBM，每个字母长5纳米，镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的STM照片Fe原子间距：0.95nm，圆圈平均半径：7.13nm48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。“扫描隧道绘画”一氧化碳“分子人”“原子和分子的观察与操纵”--白春礼P.151图7-8CO分子竖在铂片上分子人高5nm用STM得到的神经细胞象硅表面STM扫描图象§4谐振子1.势函数2222121)(xmkxxUm振子质量，固有频率，x位移2.定态薛定谔方程0)()21(2dd22222xψxωmEmxψ3.能量本征值),,,()()(2102121nνhnωnEn谐振子不仅是经典物理的重要模型,也是量子物理的重要模型,如固体中原子的振动即可用此模型。xn很大EnE1E2E00U(x)212n22204.能量特点：(1)量子化等间距hE符合不确定关系概率分布特点:EU区有隧道效应(2)有零点能0210ωE