数学物理方法ppt

2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇1数学物理方法复变函数论2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇2复变函数论复数复变函数导数解析函数本章小结2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇3复数数的扩张（完善化）自然数减法不封闭→整数除法不封闭→有理数不完备→实数方程可解性→复数22020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇4复数复数的表示代数表示z=x+iyx=Real(z),y=Imagine(z)三角表示z=r(cosφ+isinφ)r=|z|,φ=Arg(z)指数表示z=rexp(iφ)exp(iφ)=cosφ+isinφ2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇5复数几何表示关系x=rcosφy=rsinφr=√(x2+y2)φ=Arctan(y/x)特点无序性复数无大小矢量性复数有方向2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇6复数运算加减法(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)乘除法r1exp(iφ1)×r2exp(iφ2)=r1r2exp[i(φ1+φ2)]幂和开方[rexp(iφ)]n=rnexp(inφ)[rexp(iφ)]1/n=r1/nexp(iφ/n)复共轭z=x+iy→z*=x–iyz=rexp(iφ)→z*=rexp(-iφ)2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇7复变函数概念定义函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射实变函数：f:x→y复变函数：f:z→w举例f(n)=fn=(1+i)n,n∈Nf(z)=znf(z)=exp(z)f(z)=ln(z)2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇8复变函数更多的例子w=az2w=az2+bz+cw=1/(az+b)w=√(az+b)w=Ln(az+b)w=sinzw=Arccoszw=∑anznw=∑ansin(nωz)w=∏(1-z2/n22)w=∫exp(-z2)dz2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇9复变函数复变函数的分类复数数列整式分式有理函数无理函数代数函数超越函数初等函数幂级数傅立叶级数级数无穷乘积无限次运算无限次复合非初等函数复变函数（狭义）复变函数（广义）2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇10复变函数分析与比较定义域和值域相同点：都是数集不同点：实数集是一维的，可以在(直)线上表示；复数集是二维的，必须在(平)面上表示。典型例子：|x|2是连通的，1|x|是不连通的；|z|2是单连通的，1|z|是复连通的。2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇11复变函数映射相同点在形式上：y=f(x),w=f(z)不同点在变量上：z=x+iy,w=u+iv在描述上：实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示；复变函数不能用一个图形完全表示。联系u=u(x,y),v=v(x,y)可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇12复变函数结构相同点：复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。不同点：基本实变函数xn,x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)基本复变函数zn,z1/n,exp(z),ln(z)原因cos(z)=(eiz+e-iz)/2,sin(z)=(eiz-e-iz)/2i2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇13复变函数基本函数二次函数定义w=z2分析u+iv=(x+iy)2=x2+2ixy-y2u=x2-y2,v=2xy性质对称性无周期性无界性单值性-10-50510-10-50510-100-50050100-10-50510-10-50510-10-50510-200-1000100200-10-505102020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇14复变函数三次函数定义w=z3分析u+iv=(x+iy)3=x3+3ix2y-3xy2-iy3u=x3–3xy2,v=3x2y-y3性质对称性无周期性无界性单值性-10-50510-10-50510-2000-1000010002000-10-50510-10-50510-10-50510-2000-1000010002000-10-505102020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇15复变函数指数函数定义w=exp(z)分析u+iv=exp(x+iy)=exp(x)[cosy+isiny]u=exp(x)cosy,v=exp(x)siny性质不对称性周期性exp(z+2i)=exp(z)无界性单值性-2-1012-5-2.502.55-5-2.502.55-2-1012-2-1012-5-2.502.55-4-2024-2-10122020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇16复变函数对数函数定义w=Ln(z)分析u+iv=Ln[r×exp(iφ)]=lnr+iφu=lnr,v=φ性质对称性非周期性无界性多值性：|φ|123451234500.511.5212345-2-1012-2-1012-101-2-10122020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇17复变函数三角函数定义w=sin(z)分析u+iv=sin(x+iy)=sin(x)ch(y)+icos(x)sh(y)u=sin(x)ch(y),v=cos(x)sh(y)性质对称性周期性无界性单值性-5-2.502.55-4-2024-20020-5-2.502.55-5-2.502.55-4-2024-20020-5-2.502.552020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇18复变函数的导数基本概念实变函数复变函数极限连续导数Axfxx)(lim0Azfzz)(lim0)()(lim00xfxfxx)()(lim00zfzfzz)(')(lim00xfxxfxx)(')(lim00zfzzfzz2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇19复变函数的导数可导条件分析C-R条件ux=vyvx=-uy充要条件偏导数ux，vy，vx，uy连续满足C-R条件意义可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。xvixuxviuzzfxxyyxx000lim)(limyuiyvyiviuzzfyyyyxx000lim)(limzzfzfzzfyyxxyyxx)(lim)(')(lim000002020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇20复变函数的导数典型情况初等函数在定义域内都可导；函数Re(z),Im(z),|z|,Arg(z),z*不可导。导数的计算法则：复变函数的求导法则与实变函数完全相同；例子：(sin2z)’=2sinzcosz[exp(z2)]’=2zexp(z2)(z3)”=6z2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇21复变函数的导数导数的意义微商表示f’(z)=dw/dz模：|f’(z)|=|dw|/|dz|幅角：Arg[f’(z)]=Arg(dw)-Arg(dz)2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇22解析函数定义点解析函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导区域解析函数f(z)在区域B上每一点都解析性质调和性解析函数的实部与虚部都是调和函数，即△u=uxx+uyy=0,△v=vxx+vyy=0正交性解析函数的实部与虚部梯度正交，即uv=（uxi+uyj)（vxi+vyj)=uxvx+uyvy=0或曲线u(x,y)=C1,v(x,y)=C2相互垂直。2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇23解析函数应用例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得vx=-uy=2y,vy=ux=2xdv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v=2xy注意：电力线方程的一般形式为f(2xy)=C2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇24解析函数例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势u(x,y)。分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式，电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。解：设电势为u=f(x2+y2)ux=2xf’,uxx=2f’+4x2f”uy=2yf’,uyy=2f’+4y2f”uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0令t=x2+y2,g=f’(t)g+tg’=0g=-lnt+Cf=2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇25解析函数例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流量函数。分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得vx=-uy=2y,vy=ux=2xdv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v=2xy注意：热流线方程的一般形式为f(2xy)=C2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇26本章小结复变函数定义：两个复数集合之间的映射；特点：定义域和值域为2维；定义域出现复连通现象；不能用一个图形完全描述；极限存在的要求提高；分析：可以分解成2个二元实函数；解析函数满足CR条件；实部和虚部都是调和函数，相互正交。2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇27数学物理方法复变函数的积分2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇28复变函数的积分路积分柯西定理不定积分柯西公式本章小结2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇29路积分路积分的概念和性质实变函数复变函数定义性质iniixbaxxfdxxfi10)()(liminiizCzzfdzzfi10)()(limbabadxxfcdxxcf)()(CCdzzfcdzzcf)()(bababagdxfdxdxgf][CCCgdzfdzdzgf][abbadxxfdxxf)()(CCdzzfdzzf)()(dxfdxfdxfbabccadzfdzfdzfCCCC21212020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇30路积分路积分的计算思路化复为实公式I∫Cf(z)dz=∫C(u+iv)(dx+idy)=∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx)公式II∫Cf(z)dz=∫C(u+iv)(eiφdr+ireiφdφ)=∫Ceiφ[(udr-vrdφ)+i(urdφ+vdr)]2020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇31路积分例题1沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫Czdz从O到B的定积分。解：zdzzdzzdzABOABOA)()()(2010ixdixiyiydii223)2221(212)2()2(20xixdxixzdzOBixdxi2)1(2320221zdzzdzzdzCBOCBOCi2232020/1/19徐州工程学院数理方法教案滕绍勇32路积分例题2沿图所示的三条曲线分别计