数学物理方法复习

总复习2221.0/(,)(,)(,):0/(,)(,):(,):(,)0/(,)(,)(ttxxttxxtxxuaufxtFxtfxtuaufxtfxtFxtFxtuaufxtfxtcFx如何写定解问题写泛定方程(1)均匀弦的微小横振动：作用在每单位质量弦上的横向外力均匀杆的纵振动：作用在每单位质量杆上的纵向外力作用在杆上每单位长度每单位横截面积所受的纵向外力(2)细杆导热问题：，2,):0/(,,,),(,,,)ttuaufxyztfxyzt热源强度(单位时间内在单位长度杆中产生的热量)热传导问题：按单位热容量计算的热源强度000200000,,00110()0()(,,)~//02.(,,,)(,,,),(,)0,(,xxyyxyzxuuuuuukuFxyzEuuxyztfxyztluxtux边界（3）稳定温度分布问题：或圆形边界条件矩形边界条件泊松方程（4）静电场问题：静电场方程：电势满足的静电场方程：写边界条件：第一类边界条件：如：长为的弦两端固定：000)0(,)0,(,)(,)(,)0,(,)xlxxlxxltuxtuxtfxtuxtuxtu或一端固定一端按已知规律变化：细杆导热问题：一端为零度一端处于恒温环境中：000000,(,)(),(,,)00,0xxaxyzxxlxxlxxxluuxtftfxyztnFYSuuqkukuu边界,第二类边界条件：,如：杆的某一端是自由的，自由即不受力：又如：细杆导热问题：若杆的一端是绝热的，意味着进出该端点的热流强度为零。0000003.(,,,)(,,)(,,,)(,,)(,)0(,)(,)(,)tttttttuxyztxyzuxyztxyzuxtuxtvuxtfxt写初始条件振动问题：初始位移:初始速度:如：对上面的小车问题：，如：对细杆导热问题，只需初始温度分布，v0xl0v长为l的均匀杆，一端固定在车壁上，另一端自由，车子以速度行进而突然停止。则边界条件：000xxxluu，00P0lxxlTxhF1611：长为的均匀弦，两端和固定，弦中张力为，在点，以横向力拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件。习题TTF0l0hux1211220102000000000000''sintan;sintan''sinsin()'(),[0,](,)()(),[,](,)0tttyyhlhyyTTFTTFhlhFhlhyTlFlhxxhTluxtxFhlxxhlTluxt初始位移初始速度0PlF1612:长为的均匀杆两端受拉力作用而纵振动，写出边界条件。习题//nFSuYFYSYSuunn由胡克定律：=00000000,nxxxxxnxxlxlFFFuuuYSYSYSFFuuYSYSF0xlF000Plq1613.长为的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为，写出这个热传导问题的边界条件。习题q0xlq00000000000nxanxxlxlxxx=aqkuqx=aqkuqkuqx=qkuq若杆的某端点有热流沿该端点外法线方向流出：若杆的端点有热流沿该端点外法线方向流入：若杆的端点有热流沿该端点外法线方向流入：00PlTxF2011：长为的弦，两端固定，弦中张力为，在距一端为的一点以力把弦拉开，然后突然撤除这力，求解弦的振动。习题TTF0l0x0ux1211220012000000000000000''sintan;sintan''sinsin()'(),[0,](,)()(),[,](,)0tttyyxlxyyTTFTTFxlxFxlxyTlFlxxxxTluxtxFxlxxxlTluxt初始位移初始速度200000000000,0(),[0,](),[,]0ttxxxxltttuauuuFlxxxxTluFxlxxxlTlu定解问题为：1222212222(,)()sin[''()()]sin0''()()0()cossinnnnnnnnnnnnxuxtTtlnanxTtTtllnaTtTtlnatnatTtABll解：根据边界条件可设：，代入(1)式得000100100000020002(,)0sin002(,)(),sin()()sin()222sin()sinsin()2(,)sin()tnntnlnntnxlxnanxuxtBBllnxnxuxtxAxAxdxlllFlxFxFlnxnxnxxdxlxdxlTlllTllTnlFlnxuxtTn代入初始条件：又1sincosnnxnatlll000uuq2.研究细杆导热问题，杆的初始温度是均匀的,保持杆的一端温度为不变的，至于另一端则有强度为恒定的热流流入。习题q0xl0000nxxlxlx=aqkuqkuq解：若杆的端点有热流流入：uunx2000000,txxxxxltuauquuukuu定解问题为：(12)ll3.长为的均匀杆，两端受压从而长度缩为，放手后自由振动，求解杆的这一振动。习题F0xl0uunx00020000(12)2,0,2220,(,)(2)20,0(,)(2),(,)0xtttxxxxxxltttullFYSYSFYSxltuudxCxClxuCluxtlxuauuuuuxtlxuxt又处，定解问题为：F0//nFSuYFYSYSuunn解：首先应正确理解物理量u:表示杆上各点相对于平衡位置的纵向位移由胡克定律：=lF04.长为的均匀杆，一端固定，另一端受力后而伸长，求解杆在放手后的振动。习题F0xl0uunx200000(,)0,(,)0(,),(,)0ttxxxxxltttuauuxtuxtFuxtxuxtYS定解问题为：00000//0,(,)0,00(,)ttFSuYFYSuxxFFtdudxuxtxCYSYSFxuCuxtxYS解：杆因受力而伸长，显然杆上各点有初始位移。由胡克定律：=时刻，积分得：20102000204.0(,)0,(,)0(,)()sin(,)()0(,)0,(,)0(,)()cos(,)()0(,)0,(,)txxnxxlnttxxxxnxxlnttxxxxxluaunxuxtuxtuxtTtluxtxuaunxuxtuxtuxtTtluxtxuauuxtuxt定解问题和试探解设：设：000001()20(,)()sin(,)()0(,),(,)(,)()cos(,)0,(,)0nntxxyyxxanyyyybnxuxtTtluxtxuunyuxyAuxyAyuxyXxbuxyuxy设：设：010210004.0(,)0,(,)0(,)()sin(,)(),(,)0110,0(,)(cossin)(,)0ln(,)cosxxyyxxlnyymmmmauunxuxyuxyuxyYyluxyxuxyuuuuuAmBmuCDuE定解问题和试探解设：或1(cossin)mmmmCmDm0100001(,)()()()(cos)()lllllllrrruurRr=ArBPufur，有限值0001000(,,)(cossin)(cos)(,)1[cossin](cos)lmmmlllmlmrrmmmllllrmlmurrurrAmBmPufCmDmPur（）有限5.非齐次泛定方程处理200020()00(,)0,00,000,00,(,)(,;)(,)(,)(,;)ttxxxxltttttxxxxlttttttuaufxtuuuuvavvvvvfxvxtuxtuxtvxtd解出后6.非齐次边界条件的处理20000(1)(),()(2)(),()(3)ttxxxxltttuauututuxux(一)一般处理方法例：自由振动问题0(,)()()()()()()0()()()()()()()()()(,)()[()()](4)xxlvxtAtxBtBttvtAtBttttvtAtlBttAtlxvxttttl可选取一个函数使之满足边界条件(2)20000(1)(),()(2)(),()(3)ttxxxxltttuauututuxux22000000(,)(,)(,)(5)0(),()(),()ttxxttxxxxxlxlttttttuxtvxtwxtwawvavvwtvwtvwxvwx利用叠加原理，令将(4)(5)代入(1)(2)(3)中(,)()[()()](4)xvxttttl2000''()[''()''()]0,0()(0)[(0)(0)]()'(0)['(0)'(0)]ttxxxxltttxwawtttlwwxwxlxwxl这样边界条件化为齐次的了，但是泛定方程却变为非齐次的，接着可参照非齐次方程的求解过程进行。02(),()(,)()()xxxxlututvxtAtxBtx若为第二类非齐次边界条件：可设这样无论弦振动方程是否齐次，边界条件是否齐次，最终可用分离变量法求解。（二）特殊处理方法——特解法(,)()sin,vxtXxt设代入(1)(2)20000(1)0,(2)0,0(3)ttxxxxltttuauuuAsintuu220''00,xxlXXaXXA()cos()sin()(0)0,()sin()/sinXxCxDxaaXCllXlDADAaa(,)sinsinsinAxvxttlaa(,)(,)(,)sinsin(,),sinAxuxtvxtwxttwxtlaa令代入(1)(2)(3)得：200000,0sin(/)0,sin(/)ttxxxxltttwa2000(,)(1)(),()(2)(),()(3)ttxxxxltttuaufxtututuxux(一)一般的有界波动和输运问题以有界弦的一般振动问题为例：0(,)()()()()()()0()()()()()()()()()(,)()[()()](4)