数学物理方法课件

使用教材：数学物理方法，梁昆淼编数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中的地位尤为突出．把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意义。第一章复变函数§1.2复变函数§1.3复变函数的导数§1.4解析函数§1.1复数与复数运算§1.5多值函数式中x、y为实数，称为复数的实部与虚部（一）复数的基本概念yixz1irz几何表示：§1.1复数与复数运算复数：)Re(zx)Im(zy复平面r),(yxAxyyixz)/(xyarctg22yx为复数的模为复数的辐角cosxsiny1、复数表示由于辐角的周期性，辐角有无穷多cosxsiny)/(xyarctgArgzkArgz2)2,1,0(k2arg0z为辐角的主值，为主辐角，记为zargr),(yxAxyArgzxyrArgzArgzrxyyrxArgziz31例：求的Argz与argz解：z位于第二象限xyarctgzarg)3(arctg32kzArgz2arg322k复数的三角表示：sincosiz复数的指数表示：)sin(cosizieike2iie1ikei)2/32(应用：),1,0(k1ike)2/2(（二）无限远点共轭复数：**)sin(cosiz)sin(cosiieNSzARiemann球面复球面零点无限远点)(21cosiiee)(21siniieei)]/()[(arg2121xxyyarctgz)(221121iyxiyxzz（三）复数的运算1、复数的加减法iyyxx)()(2121xy2z2x2y1z1x1y21xx21zz21yy21zz221221)()(yyxx有三角关系：2121zzzz2121zzzz))((221121iyxiyxzz2、复数的乘法)()(12212121yxyxiyyxx212121iieezz)(2121ie)]sin()[cos(212121i2121zzzz2121argarg)arg(zzzziyxiyxzz2211213、复数的除法2121iiee))(())((22222211iyxiyxiyxiyx2222211222222121yxyxyxiyxyyxx或指数式：iyxiyxzz221121)(212121iezz)]sin()[cos(212121i4、复数的乘方与方根)sin(cosninn乘方ninez)(inne故：ninsincosni)sin(cos方根nineznine//1nkine/)2(/1故k取不同值，取不同值nz)3,2,1,0(knkinnez/)2(/1ninnezk//10ninnezk/)2(/11ninnezk/)4(/12)/2(/1ninneznknine//1222*yxzzz注意：))((2yixyixzzzxyiyx2221）、2）、zzzRe)(21*zzziIm)(21*3）、)(21)(21*2*1*21zzzz例：讨论式子在复平面上的意义2)/1Re(z解：2)/1Re(zyixzyixz1122yxyix22)/1Re(yxxz2222xyx222)41()41(yx为圆上各点例：计算解：令ibaWibaz)sin(cosiz2/1)]sin(cos[izibaW)]22sin()22[cos(2/1kikz)]2sin()2[cos(2/11izW)]22sin()22[cos(2/12izW22baz22sinbab22cosbaa2cos12sin例：计算ncos3cos2coscos解：nsin3sin2sinsin令nacos3cos2coscosnbsin3sin2sinsin)sin3sin2sin(sincos3cos2coscosninibaW)sin(cos)2sin2(cos)sin(cosniniiiniiieeee32iniiieeeeW32)1(32niiiieeeWeiniieeWWe)1(1)1(iinieeeW)()(2/2/2/2/)2/1(2/iiiiniieeeeee)()(2/2/2/2/)2/1(2/iiiiniieeeeeeW)2/sin(2)2/sin()2/cos()2/1sin()2/1cos(iininbianacos3cos2coscos)2/sin(2)2/sin()2/1sin(nnbsin3sin2sinsin§1.2复变函数（一）、复变函数的定义Ezyxivyxuzfw),(),()(iyxz对于复变集合E中的每一复数有一个或多个复数值w称为的z复变函数z称为w的宗量22)(vuzfwuvarctgzf)(arg（二）、区域概念0zz由确定的平面点集，称为定点z0的—邻域（1）、邻域（2）、内点定点z0的—邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点（3）、外点定点z0及其—邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点（4）、镜界点定点z0的—邻域既有含于E内，又有不含于E内的点，称z0为点集E的镜界点。0z内点镜界点外点0z内点镜界点外点（5）、区域A）全由内点组成B）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。（6）、闭区域区域连同它的边界称为闭区域，如1z表示以原点为圆心半径为1的闭区域（7）、单连通与复连通区域单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域（三）、复变函数例后面补充详细介绍（四）、极限与连续性设w=f(z)在z0点的某邻域有定义对于0，存在0,使0zz有Azf)(称z--z0时A为极限，记为Azfzz)(lim0注意：z在全平面，z--z0须以任意方式1、函数的极限关于极限的计算，有下面两个定理定理一设：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0那么Azfzz)(lim0的充要条件是：0),(lim00uyxuyyxx0),(lim00vyxvyyxx证：必要性如果Azfzz)(lim0那么根据极限的定义，就有：)()(00iyxiyx当)()(00ivuivu即当2020)()(yyxx时也就是当0xx0yy0uu0vv这就是说：0),(lim00uyxuyyxx0),(lim00vyxvyyxx充分性如果上面两式成立，那么当'2)()(2020yyxx|)()(|)(00vviuuAzf|)(|||00vvuu'2所以当'0zzAzfzz)(lim0定理二如果Azfzz)(lim0Bzgzz)(lim0那么：BAzgzfzz)]()([lim0BAzgzfzz)()(lim0０）　　　（　BBAzgzfzz)()(lim02、函数的连续性定义：如果)()(lim00zfzfzz那么我们称f(z)在z0处连续，如果f(z)在区域B内处处连续，我们就说f(z)在B内连续。根据这个定义和上述定理一，容易证明下面的定理定理三：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续。例如：)()ln()(2222yxiyxzf在复平面内除原点外处处连续。定理四：1）在z0连续的两个函数f(z)与g(z)的和、差、积、商（分母在z0不为零）在z0处仍连续。2）如果函数h=g(z)在z0连续,函数w=f(h)在h0=g(z0)连续，那么复合函数w=f(g(z))在z0处连续。函数f(z)在曲线C上z0点处连续的意义是指：)()(lim00zfzfzzCz在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)，在曲线上是有界的，即存在一正数，在曲线上恒有Mzf)(§1.3导数w=f(z)是在z点及其邻域定义的单值函数zzfzzfzzfzz)()(lim)(lim00在z点存在，并与z--0的方式无关，则dzdfzzfzzfzfz)()(lim)('0下面讨论复变函数可导的必要条件yvyuiyixviuzfyx00lim)('),(),()(yxivyxuzfyiviuyx00limxvixuyixviuzfyx00lim)('xviuxy00lim比较两式有yvxuxvyu称为科西--黎曼条件（C.R.条件）C.R.条件不是可导的充分条件例：证明在z=0处满足C.R.条件，但在z=0处不可导证：0)0,0()0,(lim00xuxuxuzzxyzf)(xyu0v00zyu00zyv00zxv满足C.R.条件在z=0处但在z=0处，若一定，00iezizezfsincoslim0随而变，故在z=0处不可导下面讨论f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z点可导的充分条件证明：1）u,v在z处满足C.R.条件2）u,v在z处有连续的一阶偏微商因为u,v在z处有连续的一阶偏微商，所以u,v的微分存在dyyudxxududyyvdxxvdvidvdudf)()(dyyvdxxvidyyudxxudyyviyudxxvixu)()(由C.R.条件dyxuiyudxyuixu)()(此式z无论以什么趋于零都存在，idvdudfC.R.方程的极坐标表示：dyxuiyudxyuixu)()())((idydxyuixuyuixudzdf故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z点可导当考虑z沿径向和沿恒向趋于零时，有vu1vu1例：试推导极坐标下的C.R.方程：方法一：vu1vu1当分别考虑z沿径向和沿恒向趋于零时，iez),(),()(ivuzf沿径向趋于零ieivuivudzdf),(),(),(),([lim0]),(),(),(),([lim0