数学物理方程(很好的学习教材)

PartⅡ数学物理方程教材：数学物理方法（梁昆淼高教出版社第三版）参考：数学物理方法学习指导（姚端正科学出版社）授课内容数学物理定解问题（Chap.7）分离变数（傅里叶级数）法（Chap.8）球函数（Chap.10）柱函数（Chap.11）Chap.7数学物理定解问题数学物理方程的导出定解条件数学物理方程的分类达朗贝尔公式定解问题本章小结物理量u(Y,E,B,P…)空间分布（x,y,z）时间演化（t）边界条件初始条件物理规律u(x,y,z,t)分析问题定解问题（确定系数）定界条件§7.1数学物理方程的导出常见的数学物理方程1.波动方程2.输运方程3.稳定场方程导出的步骤1.确定研究对象（物理量）2.分析物理过程，提炼物理模型3.建立方程，化简整理，推广波动方程均匀弦的微小横振动问题：一根长为L的均匀弹弦，不计重力，不受外力。其张力为T，线密度为ρ。求弦的微小横振动的规律。分析：设弦平衡时沿x轴，考虑弦上从x到x+dx的一段，其质量为ρdx。设弦的横振动位移为u(x,t)，则由牛顿第二定律ρdxutt=T2sinα2-T1sinα10=T2cosα2-T1cosα1微振动条件cosα1=cosα2=1sinα1=tanα1=ux(x,t)sinα2=tanα2=ux(x+dx,t)于是有T2=T1=Tρuttdx=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]化简后得到ρutt=Tuxxutt=a2uxxBCAα1α2uxxdxa2=T/ρ波动方程推广1情况：受迫振动（考虑重力或外力）分析：设单位长度所受到的横向外力F(x,t)，则dx段的受力为Fdx方程：ρutt=Tuxx+Futt=a2uxx+f，f=F/ρ波动方程推广2情况：均匀杆的纵振动问题分析：张力T变成杨氏模量Y方程：ρutt=Yuxx+Futt=a2uxx+f推广3情况：三维情况分析：位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数方程：)(),,(zzyyxxttuuuTtzyxu，uatruuTtrutttt2),(),(问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的变化。分析：扩散现象遵循扩散定律，即q=-D▽u，q是扩散流强度，D是扩散系数，▽u是浓度梯度。对于三维扩散问题，考察单位时间内小体积元dxdydz的净流入量。扩散方程zyxdxdydzo扩散方程在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为dxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDdxdydzxqdydzqqxxxxdxxx222222::::)(::如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数)(0)(22222222DauaudxdydzzuyuxuDdxdydztut输运方程一维热传导问题：一根长为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段，其质量为ρdx，热容量为cρdx。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为u(x,t)，则由能量守恒定律cρdxdu=dQ=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有cρut=-qx由热传导定律q(x,t)=-kux(x,t)代入前面的式子，得到cρut=kuxxut=a2uxxa2=k/(cρ)扩散方程和输运方程扩散和输运方程具有共同的形式：0022uauuautxxt三维：一维：对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），则方程的形式变化为：fuaut2源的强度稳定场方程概念产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。分类无外界作用情况拉普拉斯方程：Δu=uxx+uyy+uzz=0有外界作用情况泊松方程：Δu=uxx+uyy+uzz=f(x,y,z)典型应用静电场方程：Δu=-ρ/ε稳定温度分布：Δu=-F/k小结波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：PoissonLaplacezyxfutzyxfuautzyxfuauttt有外界无外界稳定场方程：有外源无外源输运方程：有外力无外力波动方程：),,(0),,,(0),,,(022作业：P1523,4§7.2定解条件方程ut(t)=0能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？方程uxx(x)=0能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？由此可归纳出数学物理方程的通解含有任意常数，要完全确定这些常数需要附加条件。一、定解问题的提出二、初始条件意义反映系统的特定历史分类初始状态（位置），用u|t=0=φ(x,y,x)表示；初始变化（速度），用ut|t=0=ψ(x,y,z)表示。典型例子一维热传导未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件一端温度为a，均匀增加到另一端温度为bu|t=0=a+(b-a)x/L初始条件一维弦振动未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件初始位移处于平衡位置：u|t=0=0两端固定，在c点拉开距离h：u|t=0=hx/c，0xc;u|t=0=h(L-x)/(L-c)，cxL;初始速度处于静止状态：ut|t=0=0在c点受冲量I：ut|t=0=Iδ(x-c)/ρ三、边界条件意义反映特定环境对系统的影响分类按条件中未知函数及其导数的次数：线性边界条件和非线性边界条件；线性边界条件中按给出的是函数值或导数值：第一、二、三类边界条件；按所给数值是否为零：齐次边界条件和非齐次边界条件。三类线性边界条件),,,(),,,(),,,(),,,(000,,000,,000,,000000000tzyxfnuHutzyxfnutzyxftzyxuzyxzyxzyx边界边界边界第三类边界条件：第二类边界条件：第一类边界条件：定解条件初始条件边界条件四、常见数学物理方程的定解条件波动方程输运方程稳定场方程第二类或者第三类边界条件：第一类或者位移”和初始“速度”初始条件：包含初始“定解条件方程形式：fuautt2第二类或者第三类边界条件：第一类或者始时刻的值初始条件：物理量在初定解条件方程形式：fuaut2第二类或者第三类边界条件：第一类或者初始条件：不需要定解条件方程形式：fu边界条件举例典型线性边界条件一维弦振动固定端u|x=0=0受力端ux|x=0=F/ρ一维杆振动固定端u|x=0=0自由端ux|x=0=0受力端ux|x=0=F/YS一维热传导恒温端u|x=0=a绝热端ux|x=0=0吸热端ux|x=0=F/k注意事项注意区分边界条件与泛定方程中的外力或者外源。比如一维扩散问题中，在边界x=a上有粒子流注入，此时不能看做是有外源；注意衔接条件。有些问题中存在跃变点，在跃变点处，泛定方程失去意义，需要考虑的问题是跃变点处的物理量是连续的；注意隐含条件。比如泛定方程解得分母中含有自变量时，在x=0处是没有意义的，此时分母中含有自变量的解前面的系数应该取0；注意没有边界条件的问题。一、科学分类方法定义：根据研究对象的共同点和差异点将其分成相互有关的不同类别作用：使大量具体的个体问题系统化和条理化，以便揭示对象间的相互关系，探索内在规律，便于理解和应用。方法：比较是分类的前提和基础，分类是比较的深化和结果§7.3数学物理方程的分类二、数学物理方程的一般分类一般分类按自变量的个数，分为二元和多元方程；按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和非线性微分方程；按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程。线性偏微分方程的分类按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程；按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程。0),,,(),,,(2111121321nknixkinjnixxkijnxxxfcuubuaxxxuniji式元二阶偏微分方程的形一般的例：如果aij是自变量的函数，则称为变系数微分方程；如果aij与自变量无关，则称为常系数微分方程；如果k1=k2=k3=1(or0)，且k1，k2中至少有一个的值为1，称为线性微分方程；如果k1，k2，k3中至少有一个的值不等于1和0，则称为非线性微分方程；如果f=0，则称为齐次微分方程；如果f≠0，则称为非齐次微分方程。2元二阶线性微分方程的分类一般形式：auxx+buxy+cuyy+d1ux+d2uy+eu=f(x,y)特征方程：ax2+bxy+cy2=0判别式=b2－4ac分类0为双曲型，如波动方程；=0为抛物线型，如热传导方程；0为椭圆型，如稳定场方程。02yyyxyxxcuauauau062yxxyxxuuyuuyuuuyxyxxsin5202yyxyxxxuuuuuuuyyxyxxsin23判断：推导过程关于自变量x，y的二阶线性偏微分方程（系数都是x，y的函数）0221221211fcuububuauauayxyyxyxx作自变量代换),(),(),(),(yxyxyyxxyyyyyyyyyyxyxyyxxyxxyxxyxxxxxxxxxxyyyxxxuuuuuuuuuuuuuuuuuuanduuuuuu22222)(20221221211FCuuBuBuAuAuAfFcCbbaaaBbbaaaBaaaAaaaAaaaAyxyyxyxxyxyyxyxxyyxxxyxyyxxxyyxx2122121122122121112221221122221211122221221111222)(2于是，方程化为：取特解ξη做新的自变量，使A11和A22为零，方程可以简化。特解满足的方程为：0)(2)(02221221122212211azzazzazazzazayxyxyyxx把z(x,y)=常数当做定义隐函数y(x)的方程，则dy/dx=-zx/zy，于是得到二阶线性偏微分方程的特征方程：0)(2)(2212211adxdyadxdya三、叠加原理原理：线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程如：Lu1=f1Lu2=f2则：L(au1+bu2)=af1+bf2应用：齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。§7.4达朗贝尔公式定解问题定解问题的求解思路原则：由已知猜未知方法：类比法步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。泛定方程的求解达朗贝尔公式的推导达朗贝尔公式的应用一、泛定方程的求解常微分方程方程：u’=2ax通解：u=ax2+C偏微分方程方程：ux=2yx通解：u=yx2+C(y)二阶方程：uxy=0对y偏积分：ux=C(x)通解：u=∫C(x)dx+D(y)=f(x)+g(y)二、达朗贝尔(D’Alembert)公式以均匀弦的横振