2019年中考语文真题分类汇编(第二期)词语、成语的运用(含参考答案)

0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1Email:[e-mail]数理方程与特殊函数任课教师：杨春数学科学学院0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2本次课主要内容格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式习题课(一)、Green函数问题(二)、贝塞尔函数问题(三)、勒让得多项式问题0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n3(一)、Green函数问题1、三个格林公式第一格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：SVVuvdSuvdVuvdV第二格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：SVuvvudSuvvudV0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n4设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0,u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MMMMMMSVuuMudSudVrnnrr第三格林公式：M0MSVxyz0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n5例1、写出稳态场方程洛平问题的解。要求:(1)掌握三个公式的推导；(2)稳态场方程洛平问题的解。解:(1)泊松方程洛平问题为：(,,),(,,)(,,),((,,),(xxyyzzSSSuuuufxyzxyzVuxyzuxyzn连续）连续）011111()()()()44SVuMMMdSfMdVrnrr0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n6拉普拉斯方程洛平问题为：0,(,,)(,,),((,,),(xxyyzzSSSuuuuxyzVuxyzuxyzn连续）连续）0111()()()4SuMMMdSrnr例2、求拉普拉斯方程洛平问题的解0,(,,)1,0SSuxyzVuun0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n7解：由第三格林公式：0011()4MMSuMdSnr(,,),(,,)(,,),0SSuxyzxyzVuuxyzn例3、求拉普拉斯方程洛平问题的解解：由第三格林公式：0001111()(,,)44MMMMSVuMdSxyzdVnrr0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n82、调和函数要求:(1)掌握概念和性质的证明；(2)性质的应用(极值原理)(),()SufMMVuM例4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。证明：泊松方程狄氏问题为：(a)解的唯一性证明：设定解问题有两个解u1与u2,则：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n9令:U=u1-u2,则：11(),()SufMMVuM22(),()SufMMVuM0,0SUMVU由极值原理有：，即0U12uu(b)解的稳定性证明：设在S上给定了函数使得：且：,*11(),()SufMMVuM22(),*()SufMMVuM*0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n10令:U=u1-u2,则：0,*SUMVU由极值原理有：即证明了稳定性。U3、泊松方程狄氏问题格林函数要求:(1)掌握狄氏问题格林函数概念和性质(2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式(3)特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式例5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什么？0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n11答:(1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为：(a)若G(M,M0)满足：0000(,)(),(,)0SSGMMMMMMVGMM则称G(M,M0)为定义在VS上的三维狄氏格林函数。(b)若G(M,M0)满足：0000(,)(),(,)0SLGMMMMMMDGMM则称G(M,M0)为定义在DS上的平面狄氏格林函数。(2)物理意义是:0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n12(a)物理意义：首先，对于方程ΔG(M,M0)=-δ(M-M0)来说，其物理意义是：空间中M0点处有一电量为ε(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=1/4πr；其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电壳内M0处有正点电荷ε和它在边界面上产生的感应电荷在壳内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=1/4πr+v(x,y,z)。（b)物理意义：首先，对于方程ΔG(M,M0)=-δ(M-M0)来说，其物理意义是：平面中M0点处有一电量为ε(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=1/2πlnr；其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电圈内M0处有正点电荷ε和它在边界上产生的感应电荷在圈内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=1/4πlnr+v(x,y)。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n13例6、三维泊松方程狄氏格林函数的性质是什么？答：三维泊松方程狄氏格林函数的性质主要有：(1)狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程。当M→M0时，G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和1/rMM0相同。(2)在边界上格林函数恒等于零。(3)在区域V内，有：0010(,)4MMGMMr(4)Green函数具有对称性(物理上称为互易性)，即);();(1221MMGMMG0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n14例7、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？答：000(,)()(,)SVGMMuMudSGMMfdVn例8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？0()(,)LDGuMdSGfxydn答：例9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？采用什么方法求？0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n15答:(1)球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。平面上的求法类似。求三维空间中区域VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导体壳S，在VS内M0处放置电量为ε0的正点电荷，由格林函数物理意义：G(M,M0)等于V内电荷ε0与感应电荷在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：在V外找一个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷，使它与ε0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的电势叠加等于G(M,M0).(2)采用镜像法例10、回忆球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的格林函数表达式0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n16答:(1)球域00011111(,)44RGMMrrrrr20100rRrrr(2)上半空间010111(,)4MMMMGMMrr2222220000001114()()()xxyyzzxxyyzz0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n17(3)上半平面狄氏问题的Green函数0101111(,)22MMMMGMMLnLnrr(4)圆域上狄氏问题的Green函数100011(,)lnln22MMMMrRGMMrr(5)第一象限上狄氏问题的Green函数0123011111111(,)lnlnlnln2222MMMMMMMMGMMrrrr2222000022220000()()()()1ln4()()()()xxyyxxyyxxyyxxyy0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n18例11、写出球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的泊松方程狄氏问题解的积分表达式解：(1)球域内泊松方程狄式问题解的积分表达式：由于泊松方程狄氏问题的解为：000(,)()(,)SVGMMuMdSGMMfdVn在球面上SSGGnr0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n19在球域上，由于：00011111(,)44RGMMrrrrr2222000111111442cos2cosRrrrrrrrrr224202002001111442cos2cosRrRRrrrrrrrr0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n20220322200142cosSRrGnRRrRr所以：所以，球域上狄氏问题的解为：220032220001()42cos(,)SVRruMdSRRrRrGMMfdV0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n21(2)上半空间狄式问题的解000(,)()(,)SVGMMuMdSGMMfdVn泊松方程狄氏问题的解为：01003314MMMMzzzzGGnzrr由于：0322200014()zxxyyz0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n22..00003..22220000,1,,2(,,)(,)VxyzuxyzdxdyxxyyzfxyzGMMdxdydz所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：而上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：..00003..2222000,1,,2xyzuxyzdxdyxxyyz0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n23(3)上半平面内泊松方程狄式问题解的积分表达式：GGny022001()yxxy0022001()()(,)()DyuMxdxGfxydxxy所以得：拉氏方程狄氏解为：0022001()()()yuMxdxxxy0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n24例11*、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为：解：由公式：00,0(,0),0xuxux00220000220001()()()1()yuMxdxxxyyudxxxy0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2500220001()uydxxxy0002200011()1uydxxxyy