北京理工大学导波光学基础 (13)

ASSIGNMENT#3作业讲解CHAPTERⅣTheoryofModeCouplinginOpticalWaveguidesandIt’sApplications光波导模式耦合理论及其应用4.1耦合模理论简介在理想的介质光波导中，各模式相互独立地传输。当波导边界或折射率出现畸变时，各模式不再独立，它们之间将产生功率交换，这时称模式间发生了耦合。4.1耦合模理论简介4.1.1规则波导与波导畸变求出电磁场横向分量后，即可求出电磁场的纵向分量，这样只需求解Et和Ht即可。4.1.2规则波导的模式4.1.2规则波导的模式下脚标l表示模阶数，对薄膜波导，l是一维脚标，对带状波导和光纤则是二维脚标，对导模是分立的整数，对辐射模可以是连续值。传播常数对导模和辐射模是实数，即无衰减，对消失模是虚数，对泄漏模则是复数。由分量形式的麦克斯韦方程求解Et、Ht。)jexp(zlltlEE)jexp(zlltlHH假设规则波导正规模的z坐标函数仅为exp(-jβz)，正规模的场表达式可写为4.1耦合模理论简介4.1耦合模理论简介规则波导的正规模有四个基本特点：①谐振性。。②对称性。Et2（z）=Et1（-z）（4-16）③正交性。（4-20）④完备性。正规模构成完备正交系，即波导中任一电磁场都可用导模和辐射模（不包括泄漏模和消失模）的线性叠加来表示，换言之，波导中任一电磁场均可用正规模作级数（包括积分）展开。（4-21）（4-22）PyxiHEztt2dd)(NltltltEaEaE10dNltltltHbHbH10d注意：al－导模电场幅度；bl－导模磁场幅度。4.1耦合模理论简介4.1.3波导畸变折射率分布畸变是最简单也是最基本的情况。把光波导的微小几何畸变等效成折射率分布的畸变。图4-1光波导一般几何畸变示意图4.1耦合模理论简介4.1.4理想波导正规模与本地正规模正规模并不是唯一的。可以用各种不同的正规模叠加来表示，因而也有不同的耦合系数形式。最重要的正规模有两类，一类是理想波导正规模，另一类是本地正规模。4.2理想波导模式耦合振幅方程4.2.1模式耦合振幅方程用理想波导正规模的叠加来表示折射率为任意分布的介质波导中的电磁场，任意折射率分布的横向(Et和Ht)麦克斯韦方程可以得到（4-25）（4-26）式中al、bl是z的函数，在无耦合时关系比较简单，仅是相位关系，可写成形式，其幅度为常数；在有耦合时，其相位关系和幅度都在改变。0])())([(2020ltlltzlllEannHiazbjjdd0)])(11(1))([(2020ltttlltzlllHnnbEibzajjddexp()ljz－理想波导模式的耦合振幅方程，描述了电场和磁场的零阶模到∞阶模的耦合。耦合系数和则分别描述了μ阶模和ν阶模之间电场和磁场之间的耦合程度。yxEEnnjPKttdd)(420204.2理想波导模式耦合振幅方程kK利用正规模的正交性（4-20）式，并做归一化，令P＝1，可得（4-27）aKazb2jddbkbza2jdd（4-28）（4-29）（4-31）yxEEnnnnjPkzzdd)(42022200k4.2理想波导模式耦合振幅方程这样包含了正规模横向电场的标量积，包含了正规模纵向电场的标量积。yxEEnnnnjPkzzdd)(42022200yxEEnnjPKttdd)(42020kK（4-31）利用麦克斯韦方程分量表达式将Ht转化成EzzE4.2理想波导模式耦合振幅方程4.2.2模式耦合方程中的振幅系数4.2.3微小畸变时的模式耦合振幅方程4.2.4耦合振幅方程的微扰解4.4.1定向耦合器的工作原理光学定向耦合器是由两个相距很近（几微米）且相互平行的光波导构成的，光波导可以是光纤、带状波导或平板波导。当两波导分别独立存在时，它们都可以看成是规则波导，两波导中的导模相互独立传输。但当两波导相距很近时，波导折射率分布发生了畸变，从而引起两波导中的导模相互耦合，产生功率交换。图4-2画出了平板波导和带状波导定向耦合器的结构及两波导的导模沿x方向的场分布。波导1中的导模在波导间隙中的衰减场透入到波导2中，激励起波导2的导模，并将波导1中的光功率转移到波导2中。反之，波导2中的光功率又转移到波导1中，在沿z方向的传输过程中，两波导中的导模功率不断交替转换。4.4光波导定向耦合器横向耦合（TransverseCoupling)例1：波导定向耦合器（DirectionalCoupler)图4-2定向耦合器结构图(a)平板波导定向耦合器；（b）带状波导定向耦合器；（c）平板波导定向耦合器中的场分布4.4.1定向耦合器的工作原理定向耦合器的耦合区可看作折射率分布发生微小畸变的波导，所以可采用理想波导正规模的耦合振幅方程来处理。设波导1和2中两个确定导模的传播常数分别为和，假设这两个导模与其它导模及辐射模的耦合极弱，可忽略。若波导畸变随z的变化很缓慢，使得耦合幅度在波长量级的距离上缓慢地变化，称为弱耦合。在弱耦合条件下，且两导模相位接近匹配，即，上述假设是一种合理的近似。这时问题可简化为两个导模之间的耦合。在定向耦合器中这两个导模又是沿同方向（+z方向）传输的，所以问题最后又可简化为两个同向传输的导模之间的耦合。4.4光波导定向耦合器12124.4.1定向耦合器的工作原理4.4光波导定向耦合器])(exp[212121111zcKcKzcjjjdd])(exp[121212222zcKcKzcjjjdd式中和是波导1和波导2的自耦合系数，和是两导模的互耦合系数，耦合系数都具有对称性，即，式中*表示复共轭。12K21K11K22K1221KK最后得到方程的解为)2exp()sin()(~211zBzGGKzcjj)2exp()]sin(2)[cos()(~2zBzGGBzGzcjj两导模的归一化功率为4.4光波导定向耦合器)(sin)(2221211zGGKKzP22222()cos()sin()4BPzGzGzG12221214BGKK21B4.4光波导定向耦合器当B＝0时，即在相位匹配条件下，两导模的功率变为由以上两式可见，当从0变到π/2时，波导1中的导模功率便从0变到最大值，而波导2中导模的功率则从1变到最小值。把两个导模之间实现最大功率转换所需的长度定义为耦合长度，2cLG22121KKGGz22BG2121()sin()PzKz2221()cos()PzKz212cLK相应的耦合长度变为4.4光波导定向耦合器图4-3同向传输导模之间耦合时两导模的功率分布（a）相位匹配时；（b）相位失配时在不满足相位匹配条件时，即时，两波导的导模功率只能部分转换，如图4-3（b）所示。而只有当满足相位匹配条件时，才能实现两波导导模功率的完全转换，如图4-3（a）所示，此时耦合长度Lc最长。0B4.4光波导定向耦合器4.4.2耦合系数的计算假定两波导的折射率分布和几何结构是完全对称的，即两波导的薄膜折射率和厚度均为n1和d，间隙折射率和宽度均为n2和2dc，覆盖层和衬底折射率均为n3。图4-4平板波导定向耦合器的剖面结构4.4光波导定向耦合器4.4.2耦合系数的计算把波导1和波导2的TE模场表达式（2-43）按图4-3所示坐标系改写，则波导1的第阶TE导模电场分量的表达式为波导2的第阶TE导模的电场分量为cccccccydxdxpdhEddxdddxhExddddxqEE)],(exp[)cos(],)(cos[)],(exp[cos111)1(cccccccydxddxqEddxdddxhExdddxpdhEE)],(exp[cos],)(cos[)],(exp[)cos(111)2((4－102）(4－103）4.4光波导定向耦合器4.4.2耦合系数的计算平板波导TE导模电场的横向分量即为，而纵向分量=0，根据耦合系数的表达式（4-53）和（4-56）式，可写出定向耦合器的耦合系数表达式，（4-104)xEEnnPKyyd)2()1(222012)(4xEEnnPKyyd)1()1(212011)(4xEEnnPKyyd)2()2(222022)(4（4-105)（4-106)4.4光波导定向耦合器4.4.2耦合系数的计算假定波导间隙中的场很弱，即，即弱耦合，则可推出可以看出，而和，所以在弱耦合条件下自耦系数和远小于互耦系数，是可以忽略的。从（4-108）式还可看出耦合系数的大小主要取决于和dc。由第二章的讨论已知折射率差（n1－n2）越大，越大（透入深度1／越小），这就是说（n1－n2）和d越大，两波导中导模的场在间隙中的交叉就越少，因而耦合系数也就越小。1)2exp(cdp21122exp(4)2vvcvveffhKKpdpD21221222exp(2)()vvvcvvveffphKKpdhpD12exp(2)vcKpd11K22exp(4)vcKpd22K11K12K12Kvpvpvp(4-107)(4-108)4.5光栅耦合器在集成光学中，需要把激光的能量转换成介质薄膜光波导或光纤中的导模的能量，或反之，把光波导中导模的能量转换成出射光束的能量，这些问题均涉及到光束的耦合，实现这一转换功能的器件即为光束耦合器。最常见的光束耦合方式有端面直接耦合、楔形薄膜或楔形光纤耦合、光栅耦合、棱镜耦合等等。其中光栅耦合器是集成光路中最有希望实用的光束耦合器，而棱镜耦合可用作实验观测介质薄膜波导特性的手段。本节和下一节将分别讨论这两种耦合器，它们均可看作是导模和辐射模之间的耦合，采用理想波导模式耦合振幅方程来加以分析，也可从泄漏模的角度来分析。11K4.5光栅耦合器图4-5矩形槽光栅耦合器布拉格光栅滤波器相反方向传输的两导模之间的耦合布喇格反射滤波器是畸变波导中正向传输导模与反向传输导模之间耦合的实例。如图下所示，在平板波导的上表面制作一个周期为的衍射光栅。适当选择光栅周期，使正向传输导模的光波人射到光栅上所产生的若干衍射光波中恰好有一级衍射波变成反向传输导模，则正向传输导模的光功率将有效地传递给反输导模称为反射波。分布反馈（DFB）半导体激光器（LD）结构特点：谐振腔-折射率周期变化的Bragg光栅优点：单纵模、谱线窄、波长稳定性好、动态谱线好4.6棱镜耦合器4.6.1棱镜耦合系统图4-7棱镜—平板波导耦合系统（a）剖面结构；（b）折射率分布np、n1、n2、n3分别表示棱镜、薄膜、衬底和间隙（包层）的折射率，假定；d表示薄膜厚度；b为间隙高度；为激光束在棱镜底的入射角或出射角；为导模锯齿形光线在薄膜上、下界面的入射角（即模角）。123pnnnnp14.6棱镜耦合器入射到棱镜底的激光束，当其入射角大于全反射临界角时，，在棱镜区,入射光束和全反射光束相互叠加形成沿x方向的驻波；在棱镜底下面的区域，是场振幅沿x方向指数衰减的消失场。把棱镜中及底面附近的场分布称为棱镜模。当棱镜与波导相互接近，其间隙变得很小时，形成一个折射率分布发生畸变的波导系统，因而棱镜模与导模产生耦合。当棱镜中有输入光束时，通过棱镜模与导模的耦合，把能量转移到波导中的导模，即输入耦合。当棱镜中没有输入光束时，导模与棱镜模之间耦合，把能量引出波导