北京理工大学导波光学基础 (15)

CHAPTERⅤPropagationofOpticalWaveinCrystals光波在晶体中的传播晶体的几何晶体特性的数学描述电光效应与电光调制声光效应及应用磁光效应与旋光性非线性效应简介5.1.1电光效应1.折射率椭球方程电磁场在介质中应满足物质关联方程，对光波来说在各向异性晶体中传播时，其电位移矢量D和电场强度E之间的关联方程为D=ε·E（5-1）其中ε为晶体的介电常数张量。电光效应－晶体在外电场作用下，其光学性质（折射率）的变化。5.1.1电光效应在直角坐标系中将其写成矩阵形式：晶体的介电常数张量为对称张量，即：εij=εji(i,j=x,y,z)在一定条件下，可选择适当的直角坐标系，使ε成为对角线张量形式：此时的直角坐标系称为晶体主轴坐标系。若εxx=εyy=εzz，则晶体为各向同性晶体；若εxx=εyy≠εzz，则晶体为单轴晶体；若εxx≠εyy≠εzz，则晶体为双轴晶体。zzyyxxε000000zzzyzxyzyyyxxzxyxxε5.1.1电光效应为方便起见，常引入逆介电常数张量，它与ε的关系为：≡ε0（ε-1）（5-5）其中ε0为真空介电常数，ε-1是ε的逆张量，即晶体的ε为对称张量，也必定为对称张量。在主轴坐标系中有：(5-6）(5-7）100010001))((1εεzzyyxx/1000/1000/15.1.1电光效应利用（5-5）可将（5-1）改写成：晶体中光波的能量密度U和电能密度Ue为将（5-8）式代入（5-9）式有：或写成求和形式：（5-8)（5-9）（5-10）'01DηE'2EDUU'e)'10D(ηD'UjijiijDDU,''05.1.1电光效应（5-12）为直角坐标系下的椭球方程，称为折射率椭球方程，它所描述的椭球面为折射率椭球。在晶体主轴坐标系中，i≠j时，ij=0，则（5-12）式简化为：xxx2+yyy2+zzz2=1（5-13）或写成：令r=D/(ε0U)1/2或：ri=Di’/(ε0U)1/2(i=x、y、z)（5-11）（5-10）式可改写成：(i,j=x,y,z)(5-14)(5-12)jijiijrr,11222222zyxnznynx返回5.45.1.1电光效应xxx2+yyy2+zzz2=1（5-13）或写成：其中，ni=(εi/ε0)1/2,i=x、y、z。此时折射率椭球的三个主轴方向，就是晶体的三个主轴方向，ni即为晶体的三个主折射率。若，折射率椭球实际上是个球体，说明这是各向同性晶体(或介质)；若，，则称为单轴晶体；若，则称为双轴晶体。(5-14)1222222zyxnznynxzyxnnnoyxnnneznnzyxnnn返回1返回25.1.1电光效应(a)(b)图5-13单轴晶体的折射率椭球(a)及相应于S方向上的椭圆曲线(b)xyzenononyzonSoDeDnBack10根据折射率椭球，可求出晶体中任意传播方向上两个模式的两种折射率及相应的两个偏振方向(D的方向)。此处以一个单轴晶体为例，说明这种方法。图5-1(a)为一个单轴晶体的折射率椭球：5.1.1电光效应（5-15）1222222eoonznynx5.1.1电光效应折射率椭球关于z轴(光轴)旋转对称，问题可简化到yoz平面考虑(图5-1(b))。设光传播的方向为S（在yoz平面内），则过原点与S垂直的平面与折射率椭球相交为椭圆曲线，两个轴在长度上等于2no和2n’，其中no和n’就是所求的两种折射率，两个轴的方向就是所求的两个偏振Do和De的方向。随着传播方向的不同，始终有一种光波模式的折射率为no，此种模式称为“寻常光”或“o光”，其偏振方向垂直于传播方向S和光轴z所成的平面。另一种光波模式的折射率随传播方向的改变而改变，称为“非寻常光”或“e光”，其偏振方向在传播方向S和光轴z所成的平面内。“o光”和“e光”的偏振方向始终相互垂直，所以也称它们是正交的。To85.1.1电光效应2.电光效应（普克尔斯效应）（5-16）通常情况下，是一个常数张量。当外界条件改变时，也会随着改变。随外电场E变化的现象称为晶体的电光效应。与外电场E的关系可写成的幂级数展开式形式：klklkijklkijkijijEESErz,)0()(式中略去三次以上的高次项，等式右边第一项为外电场E=0时的分量，Ek、El为外电场E的分量；rijk为Ek项系数，故称为线性电光系数或普克尔斯系数；Sijkl为EkEl项的系数，故称为二次电光系数，或克尔系数。由于rijk≠0，外电场E引起ij的变化，称为线性电光效应或普克尔斯效应。由于Sijkl≠0，外电场E引起的ij的变化称为二次电光效应或克尔效应。5.1.1电光效应2.电光效应（普克尔斯效应）FriedrichCarlAlwinPockels(1865-1913)sonofCaptainTheodorePockelsandAlwineBecker,wasborninVincenza(Italy).HeobtainedhisdoctoratefromGöttingenUniversityin1888.From1900until1913,hewasaprofessoroftheoreticalphysicsintheFacultyofSciencesandMathematicsattheUniversityofHeidelbergwherehecarriedoutextensivestudiesonelectro-opticpropertiesofcrystals-thePockelseffectisbasisofmanypracticalelectro-opticmodulators(CourtesyoftheDepartmentofPhysicsandAstronomy,UniversityofHeidelberg,Germany.)5.1.1电光效应为书写方便，由的对称性可知rijk的对称性，即rijk=rjik。因此rijk具有18个独立分量，写成：636261535251434241333231232221131211123122121133132131233232231333332331223222221113112111rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr(5-17)式中第二个矩阵元素的下角标作了如下简化：（1,1）→1,（2,2）→2,（3,3）→3,（2,3）→4,（1,3）→5,（1,2）→6。（5-17）式称为线性电光（或普克尔斯）系数矩阵。5.1.1电光效应常见的电光晶体有许多。例如：磷酸二氢钾（KH2PO4，简写KDP），无外电场时为单轴晶体，电光系数矩阵中，只有r41、r52、r63不为零。对λ=633nm，r41=r52=8×10-12m/v,r63=11×10-12m/v。晶体的电光效应与其晶格点阵结构，特别是晶格点阵对称性有关。具有中心对称晶格点阵结构的晶体，可以证明rij1=rij2=rij3=0，（i,j=x,y）；即不能呈现线性电光效应。正因为如此，才有可能使相对较弱的二次电光（克尔）效应表现出来。换句话说，具有非中心对称晶格点阵结构晶体，具有线性电光（普克尔斯）效应，而具有中心对称晶格点阵结构的晶体，具有二次电光（克尔）效应。电光调制器主要利用普克尔斯效应。5.1.1电光效应铌酸锂（LiNbO3）晶体在无外电场时，也是一种单轴晶体，其线性电光系数矩阵为：00000000002242423313221322rrrrrrrr对λ=633nm，r13=9.6×10-12m/v，r22=6.8×10-12m/v,r33=30.9×10-12m/v,r51=32.6×10-12m/v。当有外电场存在时，晶体的ij将发生变化，折射率椭球发生变化。选择一定的电场方向，原来光学各向同性的晶体会变成单轴或双轴晶体，单轴晶体变成双轴晶体，或者原来单轴晶体的主轴方向不变，但主轴折射率发生变化。例5.1写出外电场方向平行于铌酸锂晶体z方向时的折射率椭球方程及三个主折射率，,。利用（5-16）式，略去含克尔系数的二次项，此时，电场仅有Z方向，即Ex=Ey=0,Ez≠0。代入LiNbO3的电光系数矩阵，右边第二项写成矩阵形式5.1.1电光效应例5.1kkijkijijErz)0()(zErrrrrrrr0000000000002242423313221322　'xn'yn'zn（5-16）利用（5-16）式，略去含克尔系数的二次项，代入LiNbO3的电光系数矩阵，可得到LiNbO3晶体ij（E）近似表达式11（E）=11（0）+r13Ez=1/n02+r13Ez22（E）=22（0）+r23Ez=1/n02+r13Ez33（E）=33（0）+r33Ez=1/ne2+r33Ez23（E）=32（E）=23（0）+r43Ez=0(5-18)13（E）=31（E）=13（0）+r52Ez=012（E）=21（E）=12（0）+r63Ez=05.1.1电光效应例5.1由（5－13）式可写出LiNbO3晶体在z方向外电场中的折射率椭球方程：5.1.1电光效应例5.1（5-19）式中没有出现交叉项，说明LiNbO3在z方向电场中主轴没有转动，但三个主折射率都有所变化，不过仍保持为一个光轴沿z方向的单轴晶体。把（5-19）式改成下面形式：(5-19)1)1()1()1(233213221322zErnyErnxErnzezozo(5-13)1222222zyxnznynx（5-20）5.1.1电光效应例5.1(5-20)1222222zyxnznynxzoxErnn132211zoyErnn132211zezErnn332211(5-21a)(5-21b)(5-21c)其中：5.1.1电光效应例5.1即由于|r13Ez|1/n02（5-22）由（5-21a）可得：同理可得(5-23)(5-23a)221311oxznnEr300'2022202nnnnnnnxxxzooxErnnn13321zooxyErnnnn13321zeezErnnn33321(5-23b)(5-23c)说明z向电场没有使LiNbo3晶体的主轴发生旋转，仅仅改变了各轴的长短。xzEan1=noy(a)xn2=non1n2z(b)x45(c)xzKDP,LiNbO3KDPLiNbO3n1n2yEay(a)Crosssectionoftheopticalindicatrixwithnoappliedfield,n1=n2=no(b)Theappliedexternalfieldmodifiestheopticalindicatrix.InaKDPcrystal,itrotatestheprincipalaxesby45toxandyandn1andn2changeton1andn2.(c)AppliedfieldalongyinLiNbO2modifiestheindicatrixandchangesn1andn2changeton1andn2.?1999S.O.Kasap,Optoelectronics(PrenticeHall)xzEan1=noy(a)xn2=non1n2z(b)x45(c)xzKDP,LiNbO3KDPL