第10讲-指数分布、正态分布

CHAP2随机变量及其分布第10讲指数分布、正态分布2.指数分布定义2.6设随机变量X的密度函数为,0,()0,.xexfx其他其中λ＞0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布，记为X~e(λ).某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.应用与背景分布函数1e,0,()0,0.xxFxx的密度函数为X00010110xxexfx2010XPBP则令：B={等待时间为10~20分钟}201010101dxex201010xe21ee2325.0解例15设打一次电话所用的时间X~e(1/10)(单位：min)，如果某人刚好在你前面走进电话间，求你需等待10分钟到20分钟之间的概率.{|}{}PXstXsPXt11(){}(){}{}()sttsPXstFsteePXtPXsFse{()()}{|}{}PXstXsPXstXsPXs定理2.2随机变量X服从参数为λ的指数分布，则对于任意的s,t0,有证明：事实上本定理描述了指数分布的重要性质：“无记忆性”解(1))()(tTPtFT0),(10,0ttTPt)0)(()(tNPtTPtteet!0)(0例16已知某地在任何长为t周的时间内发生地震的次数N(t)~π(t),求(1)相邻两次地震的时间间隔T的概率分布;(2)求相邻的两周内发生至少3次地震的概率(3)在已经８周无地震的情况下,未来10周仍无地震的概率.0,10,0)(tettFt0,0,0)(tettft即~()Te)8108()818(TTPTTP10)10(eTP(3)((2)3)1((2)0)((2)1)((2)2)PNPNPNPN(2)2222122eee3.正态分布(或高斯分布)定义2.722()21(),2xfxex,(0),2~(,)XN设随机变量X的密度函数为其中为常数，则称X服从参数为正态分布或高斯（Gauss）分布，记为的正态概率密度函数的几何特征;)1(对称曲线关于μx;π21)(,)2(σxfμx取得最大值时当;0)(,)3(xfx时当;)4(处有拐点曲线在σμx;,)(,,)6(轴作平移变换着只是沿图形的形状不变的大小时改变当固定xxfμσ;)5(轴为渐近线曲线以x.,,,,,)(,,)7(图形越矮越胖越大图形越高越瘦越小而形状在改变不变图形的对称轴的大小时改变当固定σσxfσμ正态分布的分布函数tσxFxσμtdeπ21)(222)(正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布是概率论中最重要的分布⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．⑵正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．⑶正态分布可以作为许多分布的近似分布．正态分布下的概率计算tσxFxσμtdeπ21)(222)(}{xXP?原函数不是初等函数转化为标准正态分布查表计算).1,0(,,1,0),(2NσμσμN记为态分布的正态分布称为标准正这样时中的当正态分布标准正态分布的概率密度表示为,,eπ21)(22xxx标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为.,deπ21)(22xtxxt标准正态分布的图形}.225.1{),1,0(~XPNX求已知解}225.1{XP)25.1()2(8944.09772.0例17.0828.0证明的分布函数为σμXZ}{xZPxσμXP}{σxμXP,deπ21222)(σxμσμttσ得令,uσμt}{xZPxuudeπ2122),(x).1,0(~NσμXZ故2~(,)XN~(0,1)XZN引理2.1若，则解xσdcσμxdeπ21222)(,uσμx令uσσuσμdσμcdeπ2122}{dXcPuuσμdσμcdeπ2122}.{),,(~2dXcPσμNX求已知例18σμduuσμddeπ2122uuσμcdeπ2122)()(}{cFdFdXcP因而.σμcσμd.σμc.}{σμcσμddXcP即例19证明).(1)(xxxxxxdeπ21)(22xxxdeπ2122xxdeπ2122xxxdeπ2122).(1x证明(1)所求概率为}89{XP)2(5.09089)2(19772.01.0228.0解例20?,99.080)2(.89,90)1().5.0,(~,)(,.o2oo至少为多少问低于的概率不至少为若要求保持液体的温度的概率小于求若且是一个随机变量计以液体的温度调节器整定在容器内贮存着某种液体的将一温度调节器放置在dCXddNXCXCd99.0}80{)2(XP99.0}80{1XP99.0)80(1F99.05.0801d,01.099.015.080d327.20.5-80d即.1635.81d2~(,)XN若1121106826{}()()().PX222209544{}()().PX333309974{}()().PX33(,)，3由此可知，一次试验中X的值落入以外的概率可忽略不计，这就是所谓的规则。例21（1）假设某地区成年男性的身高（单位：cm）X～N(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。解:(1)根据假设X～N(170,7.692)，则).1,0(~69.7170NXP{X175}=}175{1XP)65.0(1)69.7170175(1=0.2578解:(2)设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01或P(Xh)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h.（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?因为X～N(170,7.692),)69.7170(h故P(Xh)=0.99查表得Φ(2.33)=0.99010.9969.7170h所以=2.33,即h=170+17.92≈188设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.