结构力学I-第7章 位移法

浙江大学海洋学院Tel:Email：第七章位移法结构力学IPage2LOGO§7-1位移法基本概念P位移法是计算超静定结构的基本方法之一。用力法计算，9个未知量力法计算太困难了！如果用位移法计算,1个基本未知量1个什么样的基本未知量?Page3LOGO§7-1位移法基本概念一、位移法的提出（DisplacementMethod）力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基本未知量,运用结点或截面的平衡条件——建立位移法方程——求出未知位移——利用位移与内力之间确定的关系计算相应的内力。Page4LOGO§7-1位移法基本概念00vh基本未知量杆的伸长杆端力为NiFiusiniiu2nd:综合成结构3rd:结点B的平衡条件51sin0NiiiF1st:取一个杆件分析iNiiiEAFul刚度系数刚度方程Page5LOGO§7-1位移法基本概念521sinPiiiiFEAl关键的一步！各杆的轴力：521sinsiniiiNiPiiiiEAlFFEAl将杆数由5减少为2，这时的结构是静定的；如果杆数大于（或等于）3时，结构是超静定的。以上两种情况都可以用上述方法计算！位移法基本方程：521siniiPiiEAFlPage6LOGO§7-1位移法基本概念由上面的简例，可归纳出位移法的要点如下：一、位移法的基本未知量1.独立的结点角位移和独立的结点线位移结点角位移基本未知量数目=刚结点的数目。铰结点处(包括铰支座处的铰结点)的角位移，在计算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。注意：在可忽略直杆的轴向变形时，受弯直杆两端之间的距离保持不变。Page7LOGO§7-1位移法基本概念2.确定独立结点线位移的方法——观察法、换铰法。观察法结构有1个独立的线位移（Z3），2个独立的结点角位移（Z1、Z2），共三个位移法的基本未知量。Page8LOGO§7-1位移法基本概念对于不易观察的结构用换铰法。先将原结构的每一个刚结点(包括固定支座)都变成铰结点，从而得到一个相应的铰结链杆体系。为保持该体系为几何不变所需增加链杆的最少数目就是原结构独立的结点线位移的数目。只需增加一根链杆，1个独立的线位移Page9LOGO§7-1位移法基本概念ZZZZABCDEFBCDEFAFF111222ZZZZABCDEFBCDEFAFF111222结构有四个刚结点——四个结点角位移。需增加两根链杆，2个独立的线位移。位移法的基本未知量的数目为6个。需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，变形后两端之间的距离不能看作是不变的。Page10LOGO§7-1位移法基本概念EAoo1122思考题：图示结构独立的结点线位移数目是几？答：结点1和2的水平线位移都是独立的，独立结点线位移数目应为2。默认状态:EI不等于无穷大,EA等于无穷大。Page11LOGO§7-1位移法基本概念二、位移法计算钢架的基本思路忽略剪切和拉伸变形！在给定荷载作用下，结点A发生角位移和水平线位移。（注意：支座处的位移不作为基本未知量。）基本未知量：,A拆搭Page12LOGO§7-1位移法基本概念二、位移法的基本方程用位移表示的平衡方程521siniiPiiEAFl两步：第一步：把结构拆成杆件，进行杆件分析，得出杆件的刚度方程。第二步：再把杆件综合成结构，进行整体分析，得出基本方程。杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础。因此位移法也称为刚度法。Page13LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数FPxy本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温度改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力结果。Page14LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：(1)杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或支座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件受拉纤维一侧。剪力的规定同前.(2)杆件转角以顺时针为正,反之为负。杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移ΔAB（侧移）以使杆件顺时针转动为正,反之为负。ABABABθAθBPBAQBA0QAB0PBAMAB0MBA02015-12-21Page15LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数等截面梁的形常数为给位移法计算刚架作准备——等截面杆件！杆端位移引起的杆端内力称为形常数。惯性矩：I；角位移：𝜃𝐴，𝜃𝐵；线位移：∆；弦转角：𝜑=∆/𝑙。2015-12-21单位荷载法：两端力偶𝑀𝐴𝐵、𝑀𝐵𝐴下的杆端转角：11=361163AABBABABBAMMiiMMii=EIil线刚度两端有相对竖向位移∆时，杆端转角：==/ABl综合，有力偶也有相对竖向位移时，杆端转角：11=3611=+63AABBABABBAMMiilMMiilPage16LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数2015-12-2111=3611=+63AABBABABBAMMiilMMiil由平衡条件求出杆端剪力：=426/=246/ABABBAABMiiilMiiil转角位移方程：（1）26612=QABQBAABiiiFFlll（2）为紧凑起见，写成矩阵的形式：2426/246/6/6/12/ABABABQABMiiilMiiilFililil弯曲杆件的刚度方程刚度系数刚度系数是只与杆件的长度、截面尺寸和材料材料性质有关的常数，又称为形常数。思考：用力法怎么计算？Page17LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数FPxy取简支梁基本结构11112212112222ABXXXX11223lEI12216lEI作出、、（略）1M2MR12ABl12426ABABEIEIEIXlll22246ABABEIEIEIXlll解出用力法求解杆端内力：Page18LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数2015-12-21=426/=246/ABABBAABMiiilMiiil=46/=26/ABABAAMiilMiil0B11=3611=+63AABBABABBAMMiilMMiil33/ABAMiil=0BAM00BQABQBAFFABABAAMiMi不同支座时的刚度方程：Page19LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数2015-12-21由荷载求固端内力——载常数两端固定的等截面直杆记荷载单独作用引起的杆端弯矩分别为：FABMFBAM杆端剪力分别为：FQABFFQBAF因为只与荷载形式有关，所以又称为载常数。22220222220liiFABPiliiFBAPialaqaalaMFdallalaqaalaMFdallPage20LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数如果等截面杆件既有已知荷载作用，又有已知的端点位移，则根据叠加原理，杆端弯矩的一般公式为：=426/=246/FABABABFBAABBAMiiilMMiiilM杆端剪力的一般公式为：2266126612FQABABQABFQBAABQBAiiiFFllliiiFFlllPage21LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数2015-12-21用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基本结构为以下三种单跨超静定梁:AB两端固定梁BA一端固定、一端铰支梁一端固定、一端定向支承梁AB仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(7-1)。仅由荷载产生的杆端内力称为载常数。列于表(7-1)。Page22LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数2015-12-211.两端固定的等截面直杆lFABMMEIABABBAABFSFSABABA杆端弯矩的一般公式：FF642624BAABABBABAABBAABABABBABAABABMlΔiiiMMlΔiiiMFQF6(2)6(2)ABABABABQABABABQBAABQBAiΔFFlliΔFFll由两端固定等截面直杆的转角位移方程可得到其他支撑的转角位移方程。Page23LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数2015-12-212.一端固定、一端铰支的等截面直杆lABFFBAEIABASFBASAMABMBA=0,θB是θA和ΔAB的函数，转角位移方程为033BAABABABAABABMMlΔiiMFPage24LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数3.一端固定、一端定向的等截面直杆AMFABABEIABABBMBASlFABSFBβAAFQBA=0,ΔAB是θA和θB的函数，转角位移方程为FFBABABAABBAABBABAABABMiiMMiiM可见：杆端弯矩表达式实际上就是基本结构各杆在基本未知量和荷载共同作用下的弯矩的叠加公式，它已经把荷载和基本未知量的作用综合在一起了。2015-12-21Page25LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数表7.1要求记忆！2015-12-21Page26LOGO§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数2015-12-21Page27LOGO§7-3位移法解无侧移刚架2015-12-21如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。位移法计算：取结点角位移𝜃𝐵作为基本位置量。为什么不选结点C？C为支座结点！由表7-1可求出各杆的固端弯矩为：220615kNm8269kNm8FFABBAFBCMMM各杆杆端弯矩如下（∆=0）：215kNm415kNm39kNmABBBABBCBMiMiMi只要求出θBPage28LOGO§7-3位移法解无侧移刚架建立位移法基本方程，求出𝜃𝐵：结点𝐵为隔离体=0+=0BABBCMMM，76kNm0Bi位移法的基本方程6kNm7Bi位移法的基本作法：先拆散：每个刚结点处只规定了一个转角，因此刚结点处的各杆杆端转角彼此相等——结点处的变形连续条件。后组装：1.在结点处各个杆件的变形要协调一致；2.装配好的结点要满足平衡条件。2015-12-21Page29LOGO§7-3位移法解无侧移刚架例题：试作图所示刚架的弯矩图。解：1.基本未知量共有两个基本未知量：𝜃𝐵，𝜃𝐶2.杆端弯矩固端弯矩，查表7-1求得22240kNm841.7kNm1241.7kNm12FBAFBCFCBqlMqlMqlM2015-12-21Page30LOGO§7-3位移法解无侧移刚架2015-12-21各杆刚度取相对值计算，设𝐸𝐼0=1,则000004541,1,=14543331,4462BABCCDBECFEIEIEIiiiEIEIii3340FBABABBABMiM3.位移法基本方程结点𝐵平衡结点𝐶平衡=0,0BBABCBEMMMM1021.70BC=