结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)

第一部分静定结构结构力学I结构力学I第五章虚功原理与结构位移计算2020年1月19日Page3LOGO作业点评3-23(c)求压力线；1kN/m10kNADBCE4m4m6m6m4m回顾集中力的情况⑴绘出力多边形及其射线；⑵绘出索多边形；FRAFRBFP1FP2FP3O1223分布力的情况：FRAFRBO10kNFCE难点：这一段的索多边形？思路：⑴压力线就是合理拱轴线；⑵合理拱轴线：y(x)=M0(x)/FH，FH=11.25kN解：作等代梁的弯矩图，并缩放42/FH3/FH412.5/FHPage4LOGO回顾主要内容应用虚力原理求刚体体系的位移结构体位移计算的单位荷载法荷载作用下的位移计算及案例图乘法温度改变时的位移计算变形体的虚功原理互等定理思考与小结Page5LOGO回顾：刚体体系的虚功原理回顾04:54基本概念可能位移：符合约束条件的无限小刚体体系位移（可以是真实位移或其它）平衡力系：使刚体保持力学平衡状态的力系；（包括主动力和约束反力）理想约束：约束力在可能位移上做功恒为零的约束（光滑铰接、刚性链接）虚功原理对于具有理想约束的刚体体系，平衡力系中的主动力在可能位移上所作的虚功总和恒为零。F1F2r1r2F1·r1+F2·r2=0Page6LOGO刚体体系的虚功原理应用虚力原理求刚体体系的位移04:54基本概念单位荷载法求刚体体系位移虚功原理虚位移原理：虚设位移，求未知力虚力原理：虚设力系，求位移单位位移法单位荷载法虚力原理⑴虚力方程，实质为几何方程；⑵虚力与实际位移状态无关，故可设单位广义力P=1；单位荷载法⑶关键是找出找出虚力状态的静力平衡关系。Page7LOGO应用虚力原理求刚体体系的位移04:54⑴在要求的位移处，施加相应的单位荷载；⑵利用力平衡条件，求出支座反力FRK；⑶由虚力方程解出拟求位移Δ=-∑FRK·cK局部变形时静定结构的位移计算ABθΔ1M⑴在要求的位移处，施加相应的单位荷载；⑵利用力平衡条件，求出局部变形处对应的内力M，FN，FQ；⑶由虚力方程解出拟求位移：dΔ=(Mκ+FNε+FQγ0)ds支座移动时静定结构位移计算Page8LOGO结构位移计算的一般公式结构体位移计算的单位荷载法04:54Δ=∑∫(Mκ+FNε+FQγ0)ds-∑FRK·cKΔκ=∑∫Mκds—弯曲变形κ对位移的影响；Δε=∑∫FNεds—轴向变形ε对位移的影响；Δγ=∑∫FQγ0ds—剪切变形γ0对位移的影响；Δc=-∑FRK·cK—支座位移cK对位移的影响；结构位移计算的一般步骤ABB’ΔθA⑴虚设θA对应的单位荷载；⑵根据平衡条件，求出结构内力和支座反力；⑶根据一般公式，算出位移；11/l1Page9LOGO第五章虚功原理与结构位移计算主要内容应用虚力原理求刚体体系的位移结构体位移计算的单位荷载法荷载作用下的位移计算及举例图乘法温度改变时的位移计算变形体的虚功原理互等定理思考与小结Page10LOGO结构位移计算的一般公式荷载作用下的位移计算及举例04:54普遍性：⑵变形因素：荷载引起的位移、温度或支座移动引起的位移；Δ=∑∫(Mκ+FNε+FQγ0)ds-∑FRK·cK求出各截面的内力MP、FNP、FQP；求出相应的弯曲、拉伸和剪切应变⑴曲率κ=MP/EI;I是截面惯性矩；⑵拉伸ε=FNP/EA;A是截面面积；⑶剪切γ0=kFQP/GA;k是形状系数；下标P表示由荷载引起荷载引起的位移的计算公式ddθsMMbhI=—bh3112k=1.2前提是什么？Page11LOGO荷载引起的位移的计算公式荷载作用下的位移计算及举例04:54两类力⑴实际荷载引起的内力—MP，FNP，FQP；⑵虚设单位荷载引起的内力—M，FN，FQ；QNQPNPPdddkFFFFMMsssEIEAGA内力的正负号规定⑴轴力FNP，FN—以拉力为正；⑵剪力FQP，FQ—使微段顺时针转动者为正；⑶弯矩MP，M—MP与M使杆件同侧受拉，则MPM为正；定义正负号一定要便于计算！Page12LOGO荷载引起的位移的计算公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例：正负号的规范用法QNQPNPPdddkFFFFMMsssEIEAGAaP求a杆轴力•表述一：FNa=-P(受压)ו表述二：FNa=P(受压为正)（给计算带来不便）•表述三：FNa=-P（统一采用默认规范）PDl求D处弯矩•表述一：MD=-Pl（正负？）ו表述二：MD=Pl(顺时针为正)×（内力成对，一个顺时针，一个逆时针）•表述三：MD=-Pl(前文已作图)•表述四：MD=-Pl(内侧受拉为正)DPage13LOGO各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例5-3试求图示悬臂梁在A端的竖直位移Δ，并比较弯曲变形和剪切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形，泊松比1/3。QNQPNPPdddkFFFFMMsssEIEAGA弯曲变形拉伸变形剪切变形各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化；qABlx解：应用单位荷载法AB1xbhPage14LOGO各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例5-3试求图示悬臂梁在A端的竖直位移Δ，并比较弯曲变形和剪切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形，泊松比1/3。qABlxAB1xbh0.5ql22P12Mqx(下方受拉为正)lMxqlQPFqx-1-Q1FI=—bh3112A=bh荷载↓，弯矩图↓凸Page15LOGO各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例5-3试求图示悬臂梁在A端的竖直位移Δ，并比较弯曲变形和剪切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形，泊松比1/3。qABlxAB1xbh变形类型真实荷载虚设荷载截面参数弯曲剪切2P0.5MqxQPFqxI=—bh3112MxQ1FA=bh，k=1.2⑴弯曲变形引起的位移42PM3011dd1.52lMMqlsxqxxEIEIEbh⑵剪切变形引起的位移2QQPQ01.2d1d0.6lFFqlksqxxGAGAGbhPage16LOGO各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例5-3试求图示悬臂梁在A端的竖直位移Δ，并比较弯曲变形和剪切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形，泊松比1/3。qABlxAB1xbh变形类型真实荷载虚设荷载引起的位移弯曲剪切2P0.5MqxQPFqxMxQ1F43M1.5qlEbh2Q0.6qlGbh22Q2M0.41.07EhhGll⑷位移比较⑶总位移MQE/G=2(1+μ)=8/3Page17LOGO各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例5-3试求图示悬臂梁在A端的竖直位移Δ，并比较弯曲变形和剪切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形，泊松比1/3。qABlbh2QM1.07hl悬臂梁22Q4M/82.565384kqlGAhqlEIl简支梁？ΔqABlΔ结论：⑴剪力影响/弯矩影响∝h2/l2；⑵若h/l1/10，则剪力影响可以忽略；大部分梁满足这个条件；⑶若h/l1/5，则剪力影响变得重要；Page18LOGO各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54梁和刚架弯曲变形主导桁架只受轴力桁梁组合结构梁式杆弯矩主导，链杆只受轴力拱弯矩轴力都重要QNQPNPPdddkFFFFMMsssEIEAGA弯曲变形拉伸变形剪切变形各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化；PdMMsEINNNPNPdFFFFlsEAEA（一般EA和轴力是常数）NNPPdFFlMMsEIEANNPPddFFMMssEIEA拱坝等拱形结构，因厚度较大，其剪力也是不可忽略的。Page19LOGO各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例1：图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截面惯性矩I均为常数，试求B点的竖向位移ΔBV，水平位移ΔBH，和位移量ΔB；qaaACBxEI=常数解:⑴刚架可忽略轴向变形，故只要作出荷载作用下的弯矩图，写出各杆的弯矩方程；BCAqa2/2①横梁BC2P1()2Mxqx0xa②竖柱CA2P1()2Mxqa0xaMP思考：根据弯矩图，能否估计刚架变形后的形状？①B点竖直位移↓；②C点水平位移←；③因忽略轴向变形，故有：C点无竖直位移；B点水平位移同C④曲率正比于弯矩；B’C’Page20LOGO各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例1：图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截面惯性矩I均为常数，试求B点的竖向位移ΔBV，水平位移ΔBH，和位移量ΔB；qaaACBxEI=常数解:⑵求B点的竖向位移ΔBV；①横梁BC②竖柱CABCAqa2/2MP作单位力，写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图（外侧受拉为正）；BCAM1()(0)Mxxxaa()(0)Mxaxa③计算位移PVdaBoMMΔxEI221d1d22aaooxxxqxaqaEIEI458qaEI正值，说明位移与虚设力方向相同Page21LOGO各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例1：图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截面惯性矩I均为常数，试求B点的竖向位移ΔBV，水平位移ΔBH，和位移量ΔB；解:⑶求B点的水平位移ΔBH；①横梁BC②竖柱CABCAqa2/2MP作单位力，画出弯矩图（外侧受拉为正）；BCAM1()0(0)Mxxaa()(0)Mxxxa③计算位移2H01d()2aBxΔxqaEI414qaEI负值，说明位移与虚设力方向相反⑷位移量22VH4298BBBΔΔΔqaEIPage22LOGO各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例2：平面桁架如图，已知各杆截面积均为A=0.4×10-2m2弹性横量E=200GPa，试求B点和D点的竖向位移ΔBV、ΔDV。解:⑴求出实际荷载状态下各杆的内力；⑵求ΔBV；4m4m3m3m24kNABCD4m4m3m3m24kNABCD004040-32-32-24思考：能否预估桁架变形情况？Page23LOGO各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例2：平面桁架如图，已知各杆截面积均为A=0.4×10-2m2弹性横量E=200GPa，试求B点和D点的竖向位移ΔBV、ΔDV。解:⑵求ΔBV：在B点施加向下的单位荷载；①求此单位力引起的各杆轴力FN；②4m4m3m3m24kNABCD004040-32-32-244m4m3m3m24kNABCD1005/35/3-4/3-4/3-1NNVPBFFlΔEA992534052(43)(32)4(1)(224)6200100.410-414.410mPage24LOGO4m4m3m3m24kNABCD1各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例2：平面桁架如图，已知各杆截面积均为A=0.4×10-2m2弹性横量E=200GPa，试求B点和D点的竖向位移ΔBV、ΔDV。解:⑶求ΔDV：在D点施加向下的单位荷载；①求此单位力引起的各杆轴力FN；②4m4m3m3m24kNABCD004040-32-32-241-5/605/600-1/2NNVPDFFlΔEA9956405(12)(24)6200100.410-42.9810mPage25LOGO各类结构的位移公式荷载作用下的位移计算及举例04:54例5-5：如图所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆