材料力学第四章 截面的几何性质1

GeometricalPropertiesofAnArea截面几何性质：与截面形状和尺寸有关的几何量。截面几何性质拉伸：AFNEAlFlN扭转：pITpGITl本次课主要内容静矩和形心惯性矩和惯性半径惯性积平行移轴公式转轴公式主惯性轴yzoyzoAdAzyCCyCzzyAASydASzdA1.静矩(一次矩)2.形心zyACACydASyAAzdASzAAzyCCSyASzA§I.1静矩和形心结论：1、Sz=0z轴是形心轴2、对称轴必定是形心轴zCyCSyASzACyzdAyzzoyz-ydA11zyniiiniiiSAySAz1111zyniiiCniiniiiCniiAySyAAAzSzAA3.组合截面的静矩和形心dAyzzoyA1A2…AnzAyASydASzdA静矩12z...nAAAASydAydA12zzz...nSSS(yi,zi)试求图示曲线下的面积OAB对于y轴的静矩Sy和形心位置xcnbxhyxyAobhnbxhyBxdxdACxc解：100nbhdxxbhydxdAAnbnbA22100nhbdxxbhxydxxdASnbnbAybnnASxyc21【例题1】1nbhAbnnxc21面积形心Cxcbh2bhAbxc32三角形CxcbhbhAbxc21矩形Cxcbh3bhAbxc43二次抛物线Cxcbh4bhAbxc54三次抛物线Cxcbh32bhAbxc85二次抛物线nbxhy/bxc2C2xchCniiniciicAxAx11C1xc1负面积法xyo212211AAxAxAccbbhbhbbhbbh853432AzAydAyIdAzI221.惯性矩（二次轴矩）惯性矩恒为正值2.惯性半径22zzyyiAIiAIAIiyyAIizz§I.2惯性矩和惯性半径dAyzzoyAdAyzzoyApdAI2pyzIII截面对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。3.极惯性矩（二次极矩）AzAydAyIdAzI22试计算图示矩形对其对称轴的惯性矩。2212322hhbhbdzzdAzIAyCyzbhzdz解：123hbIz【例题2】【例题3】试计算图示圆形对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。20422322DDddAIAp解：6424DIIIpzyyzDCzypIIIdnipipnizizniyiyIIIIII1114.组合截面的惯性矩和极惯性矩dAyzzoyA1A2…AnAzAydAyIdAzI22ApdAI2yzDdC646444dDIIzy323244dDIp【例题4】试计算图示圆环对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。能否用同样的办法计算抗扭截面系数？AyzyzdAI惯性积可正、可负、可为零§I.3惯性积dAyzzoyAAyzyzdAI坐标系的两个坐标轴中只要有一个是截面的对称轴，则截面对该坐标系的惯性积等于零。dAyzzoyz-ydA已知：cccczyzyIIIba求：yzzyIII(a和b是截面的形心在oyz坐标系中的坐标)§I.４平行移轴公式CyzoabyczcazzbyyccAaIAaSaIdAadAzadAzdAazdAzIcccyyyAAcAcAcAy22222222)(0cyS其中：Iy~IycdACyzozzcayycbyczcabAIIAbIIAaIIcccczyyzzzyy22在一组平行坐标轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小。222()occpyzppIIIIabAIOCA平行移轴公式：dACyzozzcayycbyczc已知：123bhIcy解：Cyczcbhy求：yI32123232bhbhhbhAaIIcyy【例题5】已知：yzzyIII求：1111zyzyIIIdAyzozz1yy1y1z1§I.5转轴公式主惯性轴1.定点转轴公式sincossincosyzzzyy112222222222222211sincossinsincoscossinsincos)sincos(yzzyzyyzzyAAAAAyIIIIIIIIyzdAdAydAzdAyzdAzIIy1~Iy,Iz,IyzdAyzozz1yy1y1z1112zyII2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111yzzyzyyzzyzyzyzzyzyyIIIIIIIIIIIIIIII转轴公式1111090yzyzyzyzIIIIdAyzozz1yy1y1z1定义：若截面对某对坐标轴的惯性积等于零，则这对坐标轴称为主惯性轴，简称为主轴。即：若000zyI，则y0,z0是主轴。02220000cossinyzzyzyIIII令：得：zyyzIIItg220可确定一对主轴y0,z0的方位2.主惯性轴（主轴）dAyzozz1yy1y1z12222222111cossinsincosyzzyzyyzzyzyyIIIIIIIIII令：01ddIy得：sin2cos202yzyzIII可见，使惯性矩取极值的轴即为主轴。讨论：主轴方向的惯性矩3.主惯性矩定义：截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。由：得：zyyzIIItg22002yzI2zyII224yzzyIII)(22042yzzyzyIIIII)(cos220422yzzyyzIIII)(sin将上式代入0022220sincosyzzyzyyIIIIII得主惯性矩的计算公式：22minmax22yzzyzyIIIIII显然：11maxminyzyzpIIIIIII主惯性矩的计算公式：dAyzozz1yy1y1z1定义：(1)通过形心的主轴称为主形心轴。(2)对主形心轴的惯性矩称为主形心惯性矩。(3)由主形心轴和杆件轴线所确定的平面称为主形心惯性平面。显然：对称轴必定是主形心轴。4.主形心轴和主形心惯性矩证明：设通过截面O点的y、z轴为主轴，u、v为另一对主轴，其中o不是/2的整数倍，由转轴公式：022200cossinyzzyuvIIII而：0yzI020sinzyII022211cossinyzzyzyIIII从而：yzoz1y10vu【例题5】试证明下列定理：如果通过截面的任一指定点有多于一对的主轴，那么通过该点的所有轴都是主轴。故过Ｏ点的任何一对正交轴都是主轴，定理得证。若通过截面某点有三根（或三根以上）的对称轴，则通过该点的所有轴都是主轴。正多边形有无数对主形心轴。cccccyzoz1y10vu推论：解：1、建立参考坐标系，确定整个截面的形心位置8cm12cm1cm1cmzyo【例题6】求图示截面的主形心惯性矩。8cm12cm1cm1cmzyocc1c2（yc，zc）1112670.51273.97niciicniiAzzAcm11120.574.51271.97niciicniiAyyAcm计算形心坐标：8cm12cm1cm1cmzyozcyccc1c2zcyca1a2b1b2a1=-1.47b1=2.03a2=2.53b2=-3.47建立形心坐标系，计算形心坐标系中各部分形心坐标：3.97czcm1.97cycm2、计算对形心轴惯性矩和惯性积8cm12cm1cm1cmzyozcyccc1c2a1a2b1b2a1=-1.47b1=2.03a2=2.53b2=-3.474232322212127974731217120321212121cmAbIAbIIcccyyy).(.1122111222497ccccccyzyzyzIIabAIabAcm4100czIcm44497100279cmIcmIcmIcccczyzy8cm12cm1cm1cmzyozcycc3、计算主形心轴和主形心惯性矩0871100279972220.)(cccczyzyIIItg9072372300..8cm12cm1cm1cmzozcyccIyc=279cm4Izc=100cm4Iyczc=-97cm40yozoy9813151899721002792100279222222..)(minmaxcccccczyzyzyIIIIII4z4ycm557IIcm5321II00..minmaxzyozcycc0yozoIyc=279cm4Izc=100cm4Iyczc=-97cm41、建立参考坐标系，确定整个截面的形心位置yc和zc2、计算形心轴惯性矩和惯性积Iyc、Izc、Iyczc(用平行轴公式)3、计算主形心轴的方位角0和主形心惯矩Iy0、Iz0（用转轴公式）小结求主形心惯矩步骤zoIyc=279cm4Izc=100cm4Iyczc=-97cm4c0y0z0yzcyc（yc，zc）课后练习作业：4-7,4-8思考：已知任意截面图形的面积为A，对其形心C点的极惯性矩为IPC，当图形对某点(x,y)的极惯性矩IP＝2IPC时，求该点的轨迹方程。yzoACCyCz