材料力学莫尔定理

§2-4莫尔定理——计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具——计算挠度的莫尔定理一．定理：f——线位移xM——在原始载荷P1、P2、P3作用下，X截面弯矩。——在预加单位载荷P0=1作用下，X截面的弯矩。其中：lEIdxxMxM)()()(xM图七l321PPP　　2EICfx图八l2EIC0Px在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中，我们将学习两种能量方法：1，莫尔定理。2，卡氏定理。其中莫尔定理是今天这节课的内容。并且，在变形能概念的基础上来研究莫尔定理。对于图六的情况：由于该梁是一横力弯曲梁，即在横截面上不仅有弯矩，而且还有剪力，因此在梁的变形中，弯矩不仅要产生影响，剪力也要产生影响，但当4HL变形都是由于于弯矩的影响来说是很小的，xM的影响而产生的。时，剪力的影响相对故可略而不计，而近似地认为梁的二.定理证明：1．在原始载荷P1、P2、P3……单独作用下，梁内变形能ULZEIdxxMU22——a2．在P0=1单独作用下，梁内变形能U0LZEIdxxMU2200——b图七l321PPP　　2EICf图八l2EIC0Px3.采用先加P0=1，然后再加P1、P2、P3…..的加载方式时，梁内的变形能1UP0作用下：dxEIxMULZ2020——bP1、P2、P3……作用下：LZEIdxxMU22——c图七l321PPP　　2EICf　0P图七l321PPP　　2EICf图八l2EICf0P1U图九l2EI0M在产生f变形过程中，P0做功：fP0——转变成变形能储存于弹性体中，从而可求出梁内最终所储存的总变形能1UfEIdxxMdxEIxMfPUUULZLZ122202001——d4.采用将P0、（P1、P2、P3……）同时作用于梁上的加载方式时X截面弯矩:xMxM0——根据叠加原理在求U之前，应将图六和图七进行比较，即可发现图七实质上是图六的计算简图，因此，此时梁内的变形能仍应为：LZEIdxxMU22在进行第二步计算之前应明确：弹性体内所储存的变形能只与外力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关；基于这个道理，在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下，变形能的情况。此时应强调P1、P2、P3…对梁的作用效果并不因预先在C点作用了单位载荷而有所改变，因此得出：由于P1、P2、P3…的作用，C点产生的位移'f况下梁内的变形能。即c式。应等于f；产生的变形能也应等于图七情dxEIxMxMdxEIxMdxEIxMdxEIxMxMULZLZLZLZ02202012224.根据变形能与加载方式无关的道理得：11UUdxEIxMxMfLZ0——计算挠度的莫尔定理5.推论：同样的道理，如果我们要求截面的转角，也只需在C截面上施加一个单位力偶，用上述同样的方法可求出：dxEIxMxMLZc0——计算转角的莫尔定理三.总结：1.莫尔定理——单位力法2.适用范围——线弹性结构四.应用举例：例1：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为ZEI。其上受均布载荷作用，载荷集度为q，试求出梁跨中点C的挠度cf及端面B的转角B1U图九l2EI0MCxqlARxBRl2EIC2/110Px2/1l2EI10ML/1L/1zEIC??Bcf、解：〈一〉求支反力RA，RB由对称性：2qlRRBA〈二〉求cf及B22222qxqxlqxxRxMAxxM21020lxlxxM'0ZlZLZcEIqldxEIxMxMdxEIxMxMf3845242000ZlZLZBEIqldxEIxMxMdxEIxMxM242320''00在材料力学中，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构的具体图形，因此，在接到问题，了解了已知条件和要求解的问题之后，紧接着应该来分析图形的结构性质。很显然，图十为一对称结构。对于对称结构，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其一个对称部分来进行计算，其结果再乘以对称部分的个数即可。如图十，可沿梁中截面将梁分为两个对称部分，因此cf及B可写成左边的形式。例题总结：1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出莫尔定理实质上就是单位载荷法。若要求某一点的线位移，只需在该点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行了。若要求解一截面的转角，也只需在该截面上作用一单位力偶就行了。2．ZcEIqlf38454ZBEIql243中的正负号所表示的含义：“+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。“-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。中的为了区别cf及BxM0，在B中的xM0改写xM0的形式。成为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符号…标明实际位移方向。注意：上述内容为一节课（50分钟）内容。整个板面应控制在两个板面左右，以提高“讲”的效果。五.莫尔定理在平面曲杆的应用：〈对于横截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆，其弯曲正应力分布规律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆〉挠度和转角的近似计算公式：dsEIsMsMfSZ0dsEIsMsMS0（10-12）式中：S——代表曲杆轴线的弧长sM——载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩sM0——单位力或力偶作用，曲杆横截面上的弯矩（计算桁架中某一点位移的莫尔定理的推导做为课外作业，请大家课后将它推导出来）目录例13.12•不计轴力及剪力影响,计算A点垂直位移及B截面的转角laCEI2BAEI1x1x2P例13.12解laCEI2BAEI1x1x2PM(x1)=-Px1M(x2)=-PaAB段BC段CBAx1x21AB段BC段M(x1)=-x1M(x2)=-a=——+——Pa3Pa3l3EI13EI2dy=0a—————+0l—————M(x1)M(x1)dxM(x2)M(x2)dxEI1EI2CBAx1x21为求B截面的转角,在B截面施加单位力偶,有AB段BC段M(x1)=0M(x2)=1得B=-——PalEI2例13.13•桁架各杆EA相同,求AC间的相对位移PAFDCBE154326798aaa1AFDCBE154326798aaa欲求AC间的相对位移,可在AC间施加一对单位力,求出这时的内力,再应用莫尔积分求解例13.14•求活塞环在P力作用下切口的张开量PPABfM(f)=-PR(1-cosf)11ABf施加单位力如下M(f)=-R(1-cosf)dAB=————3pPR3EI最后用莫尔积分可得