八年级数学理科班讲义教学-几何证明

八年级数学理科班讲义教学-几何证明1/10BCDAOBCEDAABCA’B’C’ABCA’B’C’8、八年级数学理科班：直角三角形全等判定、性质姓名一、【直角三角形全等的特殊判定方法】知识要点：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。简记为HL。1、【定理证明】已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AB=A’B’求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’2、【直角三角形全等判定方法梳理】如图，具有下列条件的Rt△ABC和Rt△A’B’C’（其中∠C=∠C’=90°）是否全等？如果全等在（）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（）里打“×”.（1）AC=A’C’，∠A=∠A’（）_______（2）AC=A’C’，BC=B’C’（）_______（3）AB=A’B’，BC=B’C’（）_______（4）∠A=∠A’，∠B=∠B’（）________3、【应用练习】选择题1．下列说法正确的有（）①斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等②两条边分别相等的两个直角三角形全等③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等④斜边相等的两个等腰直角三角形全等A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知，如图，BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于O，且BD=CE，则图中全等的三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（）A．相等B．不相等C．互余或相等D．相等或互补4．如图，已知：∠A=∠D=90°,AB=CD,求证：AC=DB八年级数学理科班讲义教学-几何证明2/10BCFEDABCFEDABCFEDAABCDEFACBD5．如图，已知：AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,BF=CE.求证：AB∥CD6．如图，已知：AB=AE,∠B=∠E=90°,AF垂直平分CD,求证：BC=DE7．如图，已知：AD平分∠BAC,DB⊥AB,DF⊥AC于点F，ED=CD,求证:AC=AE+2BE.8．已知：AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F，求证：CE=DF二、直角三角形的性质1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余（显然）②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2、【定理证明】已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线.求证：ABCD21八年级数学理科班讲义教学-几何证明3/10例1.共斜边型直角三角形1．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，问：MN与DE有什么样的位置关系，并说明理由。2．如图，△ABC和△ABD是以AB为斜边的直角三角形，如果E、F分别是AB、CD的中点。问：EF与CD有什么样的位置关系，并说明理由。例2.直角三角形性质的逆命题成立4.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任一点。求证：△ACB是直角三角形4、【推论】1.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.2.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.含30°的直角三角形边的速算1．已知：以下直角三角形中，较小的角是30°，求另外两条边的长。八年级数学理科班讲义教学-几何证明4/10ABDC82.562．△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=3，则∠A=____________.3．△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,a=3,则b=_________.含30°的直角三角形性质应用1.已知：△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，DA平分∠BAC，BD=2DC.求证：（1）∠B=30°;（2）D在线段AB的垂直平分线上.2.已知：如图，△ABD中，∠B=90°,∠BAD=60°,点C是BD上一点，且∠BAC=45°，CD=10，求BC的长。3.如图，在四边形ABCD中，90ADCABC，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．（1）求证：MN⊥BD；（2）当15BCA，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．ABCDMNOCDBA八年级数学理科班讲义教学-几何证明5/10CABDGBECFDA拓展思考1、已知四边形ABCD是正方形，当点E在BC上，点F在CD上，AE和BF交于点G且AE=BF。求证：AE⊥BF。2、已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE，G是垂足.求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B＝2∠BCE【回家作业】：一、填空：（1）在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数为＿＿＿＿＿；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A－∠B=30°，那么∠A=＿＿＿，∠B=＿＿＿；（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，那么，与∠B互余的角有＿＿＿＿，与∠A互余的角有＿＿＿＿，与∠B相等的角有＿＿＿，∠A相等的角有＿＿＿＿＿。八年级数学理科班讲义教学-几何证明6/10CBDAFE4、在△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB=_________．5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．6.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=25度，那么∠BCD=度．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，AB=4厘米，那么CD=厘米．8．在△ABC中,∠ACB=90º,∠A=20º,CD与CE分别是斜边AB上的高和中线,∠DCE=_____二、简答：1．如图，M是Rt△ABC斜边AB上的中点，D是边BC延长线上一点，∠B=2∠D，AB=16cm，求线段CD的长．2.已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。3.在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。求证：AE=DF。ABMCD八年级数学理科班讲义教学-几何证明7/10BACFEDBACFED4．已知:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E,点F是AB的中点.求证:EF∥AC5．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，联结DE，点G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．6．在△ABC中，AD⊥BC，CE是AB上的中线，BE＝CD，DF⊥EC，垂足为F．求证：（1）F是EC的中点；（2）∠B＝2∠BCE．FGACDEBFEBCAD八年级数学理科班讲义教学-几何证明8/107．已知：如图△ABC中，∠ACB=90°,D是AC上任意一点，DE⊥AB于E,M,N分别是BD,CE的中点,求证：MN⊥CE．8．如图，AC、BD相交于点E，且BA＝BE，CE＝CD，M、N、P分别是AE、DE、BC的中点．求证：MP＝NP．9．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，联结ME、MD、ED。（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）求证：∠EMD=2∠DAC．NEMCBADPNMEACBDABCDEM八年级数学理科班讲义教学-几何证明9/1010．如图，∠ABC＝90°，M为AC的中点，CD∥MB，AD⊥CD，点N在CD上，DN＝MB，试说明BD与MN的位置关系．11．如图，AD是△ABC的∠BAC内部的任意一条射线，BD⊥AD，CE⊥AD，垂足分别为D、E，M是BC的中点．求证：MD＝ME12．已知，如图：在四边形ABCD中，BD⊥DC，AC⊥AB，E为BC的中点，∠EDA＝60°．求证：AD＝ED．NDMBCAMEBCADBECAD八年级数学理科班讲义教学-几何证明10/1013．如图，在△ABD中，∠D＝90°，点E在AD上，且∠ABE＝2∠EBD，AC∥BD．求证：EC＝2AB．14．在△ABC中，点D在AC上，且BD⊥AB，∠C＝2∠A．求证：AD＝2BC．15、已知：如图29，△ABC为Rt△，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是BC上两点（与BC不重合）且∠DAE=45°。求证：222DEECBDEBDACACBDCBADE（29）