裂项相消法求数列的前n项和

用裂项法求数列的前n项和一、教学目标：(1)知识与技能：会根据通项公式选择求和的方法，并能运用裂项法求数列的前n项。(2)过程与方法：①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。(3)情感、态度与价值观：①通过对数列的通项公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②通过对数列通项和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。二、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点学习裂项法求和。教学难点：如何裂项，裂项是否与原式相等以及余项的特征三、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。在教学过程中采取如下方法：①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。教学步骤教学活动设计意图一、复习引入回忆数列求和的方法：1.公式法；2.分组求和；3.裂项相消法；教师提问，师生一起回顾充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学通过学生对几4.错位相减法；5.并项求和法；6.倒序相加法。二、引入裂项法，是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。常见的裂项求和：an＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1⇒an＝1n(n＋k)＝1k1n－1n＋kan＝1n(n＋1)(n＋2)＝1n(n＋1)－1(n＋1)(n＋2)an＝1n＋n＋1＝n＋1－n⇒an＝1n＋n＋k＝1k(n＋1－n)教师提问，学生回答种常见的求和方法的归纳、总结,简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系三、例题精讲【例】已知数列{an}的前n项和为Sn满足：Sn＝32an＋n－3．（1）求证：数列{an－1}是等比数列；（2）令cn＝log3(a1－1)＋log3(a2－1)＋…＋log3(an－1)，令dn＝1cn，求数列{dn}的前n项和Tn.解：（1）∵Sn＝32an＋n－3∴当n≥2时，Sn－1＝32an－1＋n－4两式相减得：an＝32an－32an－1＋1，即an＝3an－1－2题目投影学生先思考一段时间，然后提问学生，理清思路让学生参与课堂，积极思考法一（构造法）：∴an－1＝3(an－1－1)又当n＝1时，S1＝32a1－2，则a1＝4∴数列{an－1}是以3为首项，3为公比的等比数列法二（定义法）：∴an－1an－1－1＝3an－1－2－1an－1－1＝3又当n＝1时，S1＝32a1－2，则a1＝4∴数列{an－1}是以3为首项，3为公比的等比数列（2）由（1）得an－1＝3n，于是log3(an－1)＝n∴cn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)2∴dn＝2n(n＋1)＝21n－1n＋1∴Tn＝d1＋d2＋…＋dn－1＋dn＝21－12＋212－13＋＋…＋21n－1－1n＋21n－1n＋1＝21－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1＝21－1n＋1展示解法，强调细节证明数列的两种方法，拓展思路。四、变式训练1.已知数列{an}的通项公式an＝1n2＋3n＋2，它的前n项和为Sn，则S2018＝.2．等差数列{an}中，2a1＋3a2＝11，2a3＝a2＋a6－4，其前n项和为Sn.（1）求数列{an}的通项公式；第1题学生自述解题思路第2题学生板演既关注全体学生，也关注个体学生的学习情况，同时暴露学生可能产生的问题（2）设数列{bn}满足bn＝1Sn＋1－1，其前n项和为Tn，求证：Tn＜34(n∈N*).五、归纳小结此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项。注意：余下的项具有的特点易错点：教师引导学生观察、对比、归纳启发、引导学生归纳总结,一方面了解学生对本堂课的接受情况,另一方面培养学生的归纳总结能力。使知识系统化,条理化。六、巩固强化已知数列{an}的前n项和为Sn，有2Sn＝n2＋n(n∈N*).(1)求数列的通项公式an；(2)若bn＝(－1)n＋11an＋1an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.巩固强化裂项相消法的特征通过巩固训练,达到引起学生积极思维的目的,提高分析问题、解决问题能力来满足不同层次学生需要,符合因材施教原则。从而达到培养学生养成“题后思考”的习惯和提高数学能力的效果。七、课堂归纳利用裂项法求和的基本步骤：1.看；2.裂；3.验；4.消.教师引导学生观察、对比、归纳总结一般规律八、作业1．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且2a2＝S2＋12，a3＝2.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝log2an＋3，数列1bnbn＋1的前n项和为Tn，求满足Tn＞13的正整数n的最小值.2．已知{an}为单调递增数列，Sn为其前n项和，2Sn＝a2n＋n.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)若bn＝an＋22n＋1anan＋1，Tn为数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜12.3.正项数列{an}的前n项和Sn满足S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝n＋1(n＋2)2a2n，数列的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜564.六、教学评价自主性：注重发展学生的个性,分层式练习和选择性作业,充分体现学生的主体地位.实践性：通过学生评析中的变式训练,给学生提供了一个很好的做数学的学习环境和学习机会.可行性:所教的班级是高一年级的普通班,学生数学功底一般,具备一定的独立思考、合作探究能力.有效性:通过学生的练习与评析,给学生提供了一个发现问题,讨论问题,解决问题的平台,为学生高效获取知识和提高综合素质创造条件.