第四章平面问题的极坐标解答(纯黑)

第四章平面问题的极坐标解答CivilEngineeringandMechanicsCollegeofXiangtanUniversity§4-l平衡微分方程§4-2平衡微分方程的通解与相容方程§4-3几何方程与物理方程§4-4应力分量的坐标变换式§4-5轴对称应力和相应的位移§4-6圆环或圆筒受均布压力§4-7压力隧洞§4-8圆孔的孔边应力集中§4-9半平面体在边界上受集中力工程上的基本构件是丰富多彩的，有凌空高悬的吊钩，也有形如彩虹的曲梁；有圆环，也有圆筒；有楔形体，也有半平面体。在很多情况下，力学问题的复杂程度与所采用的坐标系有很大关系，坐标系选择得恰当，问题可以大为简化。对于上述具有弧形边界的构件或可能转换为这种边界形状的平面弹性，采用极坐标远比直角坐标方便。图示为一圆弧形边界的曲梁，采用极坐标时，梁内任一点P的位置是用径向坐标(向径)r和环向坐标(极角)来表示的。于是点P在极坐标中的位置记作P(r,)。图4-1abMPMPxydPABDr当用极坐标求解平面问题时，为了表达应力分量、应变分量和位移分量，现从图示的曲梁中、取出一个微小的扇形微分体PABD。微分体各面上的应力分量和正负号的规定与在直角坐标中一样，正面正向和负面负向为正；正面负向和负面正向为负，只是八个分量符号的下标不同，两种坐标下的八个物理量对比如下，直角坐标x、y、xyx、y、xyu、v极坐标r、、rr、、rur、v图4-2drrrrrrddrrrrrdKrKrrd2d2drOrrdxyPABCD可见，r与x、与y是分别对应的，而且dr与dx、ds(=rd)与dy也是分别对应的。r表示径向r方向的正应力，表示环向方向的正应力，r和r分别表示r方向和方向的剪应力。类似地，两个体力分量Kr和K，则分别表示径向和环向的体力分量。上图表示的各个分量，按其指向均为正向。§4-l平衡微分方程如同在直角坐标系中一样，因为应力分量是随坐标位置变化而变化的，见图4-2。所以，如在PB截面上的径向正应力是r，那么，在AD截面上就是。同样，在这两个对边截面上的剪应力就分别为r和，作用在PA和BD两截面上环向正应力分别是和，作用在这两个截面上的剪应力分别是r和。rrrrdrrrrdddrr为了方便，所取微分体为单位厚度，则PB和AD两面的面积分别等于rd·1和(r+dr)d·1；PA和AD两面的面积均等于dr·1，微分体PABD的体积等于rddr·1。列出该微分体的力矩平衡方程，特得出r=r，这只是又一次证明了剪应力的互等性。若将微分体所受的各力投影到过微分体中心C的径向轴上，得0dd2dcos2dcosdd2dsind2dsindddddrrKrrrrdrrrrrrrrrrr由于d是微小的，所以可以取12dcos,2d2dsin则上式变为0dddd2dddddddddd22rrKrrrrrrrrrrrrrr除以rddr，略去高价微量，注意到r=r01rrrrKrrr若将微分体所受的各力投影到过微分体中心C的切向轴上，得02101KrrrKrrrrrrrrr021Krrrrr这样，就得到极坐标中的平衡微分方程(4-1)与直角坐标中的平衡微分方程(2-1)相比，两个方程都包含三个未知函数，所不同的是在式(4-1)的两个方程中各自增多了第三项(r-)/r和2r/r，这是因为图4-1所示的微分体对边微段“平行不相等，相等不平行”所致。这也反映了极坐标的特征，所以两式中第三项表示了极坐标的特征项。§4-2平衡微分方程的通解与相容方程一、极坐标平衡微分方程的通解当不计体力时，极坐标中的平衡微分方程(4-1)成为02101rrrrrrrrrrr(4-2)为了求得齐次微分方程(4-2)的通解，将其中两个方程分别乘以r，得00rrrrrrrrrr也就是00drrdrrrrrr(4-3)这样，就得到与在直角坐标下齐次微分方程在数学上完全相似的形式，在力学上严格对应的关系。rrrrrrrr1,,1122222(4-4)(r,)是在极坐标下的应力函数。(4-3)的通解为二、极坐标中的相容方程应用极坐标平衡微分方程的求解，还可得到弹性力学中重要的相容方程。为此，分别将(2-27)；(4-4)的第一与第二式相加，得011222222rrrr展开后得01422112444224233224232223344rrrrrrrrrrrrr(4-5)§4-3几何方程与物理方程一、几何方程在极坐标中，用r代表径向正应变(径向直线段的正应变．用代表环向正应变(环向曲线段的正应变)，用r代表剪应变(径向与环向两线段之间的直角的改变)，用ur代表径向位移，用u代表环向位移。现在来导出几何方程，在推导的过程中，由于位移微小，都不计高阶微量。令点(,)Mr在变形中沿r方向的位移为ru，沿方向的位移为u；r方向线元的正应变为r，方向线元的正应变为，r与方位线元的剪应变为r，那么，,ruu与M点在oxy系中的位移,uv的关系为cossin,sincosrruuuvuu或者cossinsincosruuuvxyouvruu为建立极坐标系中位移与应变之间的几何关系，我们使or轴与ox轴一致，这时M点的位移、应变将与该点在直角坐标系中的对应量一致。因而有000sincos(cossin)rxruuuxrr同理000000cossin(sincos)cossinsin(cossin)cos(sincos)yrrxyrrvuuyrruvyxuuuurrrr其中sincoscos,sin,,uuruxrxxrrxyxryr整理后得到11,,rrrrruuuuuurrrrrr(一)只有径向位移这时，应变和转角分别用表示，右上角r表示径向的意思。相反，如只有环内位移，则应变和转角符号的右上角用表示。由下图可见，由于这个径向位移，径向线段PA移到P'A'，环向线段PB移到P'B'，而P、A、B三点的位移分别为rrrrrrr,,,,ssuuBBrruuAAuPPrrrrrd'd',rruurrdrrdruOrdxyPABBssuurrdA可见，径向线段PA的正应变为rururruuPAPPAAPAPAAPrrrrrrdd环向线段PB的正应变为rurrurPBPBBPrrrddd故剪应变为rrrrrur1径向线段PA的转角为环向线段PB的转角为0rrrrrrrursusussuuPBPPBB1dd(二)只有环向位移设P点只有环向位移PP´´=u，则径向线段PA变至P´´A´´，环向线段PB变至P´´B´´。引辅助线P´´A1行于PA，并延长OP´´至A2。在小变形情况下，P´´A´´同P´´A1夹角为一阶为小量，故在略去高阶小量时，P´´A´´=P´´A1。因此，径向应变分量为rruurrdrrdruOrdxyPABBssuurrdA环向应变分量为011APAPAPPAPAAPrursusrssurPBPBBP1ddddruru而0rurur剪应变为(三)径向和环向都有位移rurusurusururrrrrrrrrrrr叠加（一）和（二）的结果有即rurusurrusururrrrr1(4-6)极坐标下的Cauchy方程。二、物理方程由于极坐标和直角坐标同样是正交坐标系，所以，极坐标物理方程与直角坐标物理方程具有同样的形式，只是下标x和y改换为r和。因此，在平面应力情况下，物理方程是(Lamè形式)rrrrrrEGEE12111(4-7a)用应变分量表示的应力分量为(Young-Poisson形式)rrrrrrEEEE2111211222(4-7b)在平面应变情况下，只要将上式中E变换为E/(1-2)，变换为/(1-)，则物理方程为rrrrrrEGEE1211111rrrrrEEE122121111211112111以及(4-8a)(4-8b)§4-4应力分量的坐标变换式平面直角坐标系到极坐标系的变换矩阵为cossinsincos则极坐标下的应力分量与直角坐标下的应力分量之间的关系为TcossinsincoscossinsincosyxyxyxrrrT)()(ij(4-9a)cossinsincosruuuvcossin2cossinsincoscossinsincoscossincossin2sincoscossinsincoscossinsincos22222222Txyyxxyxyxyxyxyyxyxyxyxrrr222222sincoscoss