第04章 恒定电流场(2)

4-5导电介质的损耗在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果产生热能，这是一种不可逆的能量转换。这种能量损失将由外源不断补给，以维持恒定的电流。设在恒定电流场中，沿电流方向取一个长度为dl，端面为dS的小圆柱体，如图所示。dlUJdS圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下，dt时间内有dq电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力作的功为dWdqEdlEdqdl电场损失的功率P为dWdqPEdlEIdlEJdSdldtdt那么，单位体积中的功率损失为22JEEJpl当J和E的方向不同时，上式可以表示为下面一般形式lpEJ此式称为焦耳定律的微分形式，它表示某点的功率损耗等于该点的电场强度与电流密度的标积。设圆柱体两端的电位差为U，则，又知，那么单位体积中的功率损失可表示为UEdlIJdSlUIUIpdSdldV可见，圆柱体中的总功率损失为lPpdVUI这就是电路中的焦耳定律。恒定电流场的基本方程电位方程载流导电媒质中恒定电场的基本方程（不包括电源）00SlJdSEdl积分形式00JE微分形式本构关系JE电位及电位方程00()0EEJJE20对于均匀的导电媒质恒定电场的电位满足拉普拉斯方程例4.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1和2、2，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。解：极板是理想导体，为等位面，电流沿z方向。U1d2d11,22,zo1212nnJJJJJ由12121122,JJJJEE12121211221212()()ddddUUUEdEdJJU12nnSDD由121212,SSDJDJ下上21122121212112()SDDJUdd介例4.2已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其介电常数分别为1和2，电导率分别为1和2，厚度分别为d1和d2。当外加恒定电压为U时，试求两层介质中的电场强度，单位体积中的电场储能及功率损耗。1122d1d2U解由于电容器外不存在电流，可以认为电容器中的电流线与边界垂直，求得2211EEUdEdE2211又由此求出两种介质中的电场强度分别为UddE122121UddE122112两种介质中电场储能密度分别为2222211121,21EwEwee两种介质中单位体积的功率损耗分别为22222111,EpEpll两种特殊情况值得注意：0201E01ew01lp22dUE当时，，，，。当时，，，，。0111dUE02E02ew02lpd1d21=0E2=0UE1=02=0U例4.3设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间的电阻。Uyxtabr0(r,)0解显然，必须选用圆柱坐标系。设两个端面之间的电位差为U，且令当角度时，电位。001当角度时，电位。2U2那么，由于导电媒质中的电位仅与角度有关，因此电位满足的方程式为0dd22此式的通解为21CC利用给定的边界条件，求得U22UJEeerr导电媒质中的电流密度J为那么由的端面流进该导电媒质的电流I为22()π22lnππSbaUIJdSeetdrrUtdrUtbraS因此该导电块的两个端面之间的电阻R为abtIVRln2π例4.4填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和2、电导率为1和2。设内导体的电压为U0，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。外导体内导体介质2介质1J1212Iabc11、22、0U()2IJeac介质中的电场：J111()2rJIEearbr解电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度的表达式，然后求出和，再由确定出电流I。J1E2E012bcabUEdrEdr()2rIJearcr222()2rJIEebrcr（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由，可得电流密度SJdSI12021()[ln()ln()]rUJearcrbacb20121()[ln()ln()]rUEearbrbacb10221()[ln()ln()]rUEebrcrbacb故两种介质中的电流密度和电场强度分别为120212ln()ln()UIbacbpssss=+于是得到由于01212ddlnln22bcabIbIcUErErab介质2外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为J2112I（2）由可得，介质1内表面的电荷面密度为SneD12011121[ln()ln()]SrraUeEabacb21022221[ln()ln()]SrrcUeEcbacb1211221221021()()[ln()ln()]SrrrbeEeEUbbacb作业：4-4、4-114-6恒定电流场与静电场的比拟已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀介质内的静电场方程如下：恒定电流场(0)E'静电场)0(0lJdl0lEdl0SJdS0SEdS0J0E0J0E可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度J相当于静电场的电场强度E，电流线相当于电场线。恒定电流场与静电场的比拟对应物理量静电场EEDJqI恒定电场GC因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟。例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：PN电流场PN静电场那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。CRCG利用两种场方程，可以求出两个电极之间的电阻及电导与电容的关系为若已知两电极之间的电容，根据上述两式，即可求得两电极间的电阻及电导。例如，已知面积为S，间距为d的平板电容器的电容，若填充的非理想介质的电导率为，则平板电容器极板间的漏电导为dSCdSdSG又知单位长度内同轴线的电容。那么，若同轴线的填充介质具有的电导率为，则单位长度内同轴线的漏电导)/ln(π21abC)/ln(π21abG1.直接用电流场计算当恒定电场与静电场边界条件相同时，用静电比拟法，由电容计算电导。sLssLsDdSEdlEdSCQUGIUJdSEdlEdS电导与接地电阻的计算2.静电比拟法设JIIJEUEdlGU设()IUEJEIJdSGU或即GC例1求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为R1、R2，长度为,中间媒质的电导率为，介电常数为。l解法一直接用电流场的计算方法设22IJIIJEll电导212lnIlGRUR绝缘电阻2111ln2RRGlR解法二静电比拟法由静电场解得,ln12RRl2C则根据CG关系式得212,lnlGRR同轴电缆电导211ln2RRlR绝缘电阻2121ln22RRRIIUEdldllR图同轴电缆横截面例2求图示电导片的电导，已知给定。0U,;00时时，222210r00U,0方程通解为，代入边界条件，可得21CC电流密度0UJEer电流00()()lnbSaUUhbIJdSehdrera电导0ln()IhbGSmUa00,UUEeerr电位函数解：取圆柱坐标系，，边值问题：)(图弧形导电片圆弧片厚度为h.1.深埋球形接地器解：深埋接地器可不考虑地面影响,其电流场可与无限大区域的孤立圆球的电流场相似。()2接地电阻图深埋球形接地器接地电阻安全接地与工作接地的概念接地器电阻接地器与土壤之间的接触电阻土壤电阻（接地电阻以此电阻为主）解法一直接用电流场的计算方法2r4IJI解法二静电比拟法24JIEr244aIIUdrra14RaCG,a4C4,Ga14Ra2.直立管形接地器解：考虑地面的影响，可用镜像法。实际电导,212GUIG即14ln2lRld,4ln4dllC由静电比拟法图直立管形接地器4(2)4lnlGldld则,CG3.非深埋的球形接地器解：考虑地面的影响，可用镜像法处理。图非深埋的球形接地器为保护人畜安全起见OUU（危险电压取40V)在电力系统的接地体附近，要注意危险区。002IbXU相应为危险区半径跨步电压图半球形接地器的危险区21()222()xbxIIbIUdrrrxxbbxx以浅埋半球接地器为例22,22IJIJErr实际电导,2GG接地器接地电阻12Ra4.浅埋半球形接地器,44CCaGaG解：考虑地面的影响用镜像法处理。此时由静电比拟图浅埋半球形接地器同轴电缆屏蔽室接地电阻（深度20米）高压大厅网状接地电阻（深度1米）