数字谱分析

1/19/20201数字谱分析数字谱分析是用数学方法求信号的离散谱是以DFT和滤波理论为基础的。4.1信号的分类与预处理不同角度的分类：(1)确定性信号和周期信号(2)能量信号和功率信号(3)周期信号和非周期信号(4)连续时间信号和离散时间信号预处理：1)对模拟信号进行抽样，量化2)长序列截断3)去除均值信号的分类与预处理1/19/202024)趋势的删除5)数据的滤波处理6)进行平稳性，正态性，周期性检验4.2确定性信号的相关函数及谱分析分析确定性信号的能量谱或功率谱的两条途径：能量谱或功率谱自相关函数信号序列能量谱或功率谱幅度谱信号序列快速相关FFTFFT)2()1(24.2.1确定性信号的幅度谱，相位谱两种方法：1)短时傅里叶变换2)长序列的分段卷积确定性信号的相关函数及谱分析1/19/202031）短时傅里叶变换过程：当长序列的一部分(M点)到达后开始作N点的DFT,随着信号的到达，不断在上一次谱分析的结果上累积新的修正值kNNnMnmmkNWzzzXkzXkzHWmxknX12111)(),(~),(~)(),(谱分析器推导2)分段卷积型谱分析器方法一：重叠相加法方法二：重叠舍入法1/19/202044.2.2确定性信号的相关函数越小越相似222)]()([EnaynxEnnnnnxEnynynxa)()()()(2222xyxyxynxynnxyErnynxrnynxE/)()()()(22相关系数相关矩常数序列能量积定义确定性信号的相关函数1/19/202052222221][1)()(])()([1xyxyxynnnErnynxnynx计算相对误差得完全不相关和，＝时，相关性最大和，＝时，说明：当)()(10)()(0122nynxnynxxyxy)()()()(mnxnxmrmnynxmrnxnxy）（）（定义互相关函数：总结：自相关函数表示同一序列前后之间的相似性相关函数可以看成是一个相关序列的通项表示式1/19/20206相关函数的性质：nxnxmrmlxlxlmnmnxnxmr)()()()()()()1自相关函数是偶函数2)对于能量信号，序列本身(m=0)的自相关函数就是序列能量)()()0()()0(0)(2mrnxnxnxrmmrxnnxx处取得最大值在0)(0)()(),()3xyxrrmnynx即性时，序列之间失去相关当间隔对于能量信号m1/19/20207)()()4mrmryxxy互相关函数的相对性)()()()()()()5mxmxmrmymxmrxxy相关卷积定理6)相关定理能量信号x(n)的自相关函数与能量谱是一个傅氏变换对)()()()]([)()]([2jjjxyxyjxeYeXePmrDTFTeXmrDTFT)()(),()(,)7KNmrmrkKNnxnxxx为整数周期相同也是周期的周期序列的自相关函数1/19/202084.2.3确定性信号的能量谱，功率谱就是能量谱对于能量信号2)()(kXnxmjmxjjemreXeP)()()()12能量谱deXnxrEjnx2)(21)(2)0(能量说明：序列总能量E等于m=0时的自相关函数时域总能量等于频域总能量2)功率谱----维纳--辛钦定理)(,)]()(121lim[)]([nlmemnxnxNmrDTFTNNnmjmNx令确定性信号的能量谱，功率谱1/19/2020912)(lim)()(121lim)()(121lim2NeXeXeXNelxenxNjNjjNlljNNnnjN)()()]([)(12)(lim2jwmmjxxjjNeSemrmrDTFTeSNeX可得功率谱若极限存在维纳－－辛钦定理：功率信号的自相关函数和其功率谱是一个傅氏变换对注意：已知频谱能恢复出x(n)已知能量谱或功率谱恢复不出x(n),恢复出自相关函数1/19/2020104.3随机信号的相关函数和谱分析随机信号：无法预测其未来时刻准确值的信号处理随机信号的方法：从统计的角度出发对被观测信号实行平均运算4.3.1随机信号的数字特征和分类方法：用矩描写随机变量的数字特征原点矩：与原点0差值的各次方的平均阶原点矩knxEmnxEmnxEkxx)]([)]([)]([22随机信号的数字特征和分类1/19/202011中心矩：相对于自身均值的偏差值的各次方的平均阶中心矩kmnxEnxDmnxEkxxx]))([()]([}])({[22阶联合中心矩矩原点阶联合对于随机变量)(]))(())([()()()]()([)(),(kjmnymnxEkjnynxEnynxkyjxkj]})(][)({[)()}()({)(xxxxmmnxmnxEmCmnxnxEmR自协方差函数定义自相关函数2)()(xxxmmRmC结论：协方差是去除均值后的相关1/19/202012非平稳非各态遍历各态遍历广义（弱）平稳狭义（强）平稳平稳随机过程的分类：有关无关，仅与与二阶矩无关与时间均值一阶矩广义平稳的条件：ttxtxEt)]()([)2)()1随机过程统计特性的求法：1）集合平均2）时间平均遍历：集合平均和时间平均一致1/19/2020134.3.2随机信号的相关函数NNnNxTTTxmnxnxNmnxnxEmRdttxtxTtxtxER)()(121lim)]()([)()()(21lim)]()([)(离散：连续：自相关函数NNnNxyTTTxymnynxNmnynxEmRdttytxTtytxER)()(121lim)]()([)()()(21lim)]()([)(离散：连续：互相关函数自相关函数的性质：)()()1mRmRxx自相关函数是偶函数随机信号的相关函数1/19/202014)()0()]([)0(0)222mRRmnxERmxxxx时，相关性最大2)(,)3xxmRmm时不相关增大时相关性减弱0)()()0()0()0()()()()(22222xxxxxxxxxxxxxxCmCCmmmRCmCmCmmRmC自协方差性质：结论：方差等于均方值减均值平方均值为零的信号，方差等于平均功率1/19/202015)()0()0()0(22xxxxxxxRRRmRm三个重要的统计特性：yxxyxyyxyxxymmRmRRRmRmR)()3)()0()0()2)()(12）互相关函数的性质：yxxyxyxyyxxymmmRmCCmCmC)()()0)()2)()(1３）互协方差的性质：1/19/2020164.3.3随机信号的功率谱随机信号中的维纳－－辛钦定理：随机序列x(n)的自相关函数与该序列的自功率谱密度函数是一个傅氏变换对deSnxEmRemReSjxxmmjxjx)(21)]([)()()(2布函数功率在频域的谱密度分的物理意义：序列平均)(jxeS)()()(自功率谱频域自相关函数相关域序列时域座桥梁总结：自相关函数是一自相关函数将无限能量序列变为有限能量序列将随机序列转变为确定性序列随机信号的功率谱1/19/202017是连续的．是周期的，周期为．是实偶的非负的．实信号的自功率谱的性质：)(32)(2)(1jxjxjxeSeSeSdeeSmRemReSmjjxyxymmjxyjxy)(21)()()(互功率谱定义2)()()(2)()()(1jxyjyjxjyxjyxjxyeSeSeSeSeSeS．．互功率谱性质：1/19/2020184.3.4随机信号通过线性系统比较：确定性信号通过系统：时域卷积，频域乘积随机信号通过系统时：时域卷积，频域不存在乘积随机序列通过线性系统的关系：)()()()()()()1mRmRmRnhnxnyhxy相关－－卷积定理语言描述：卷积的相关等于相关的卷积2)()()()2jjxjyeHeSeS谱的乘积入自功率谱与系统能量随机信号通过线性系统1/19/2020193）输入输出互相关函数)()()(,mhmRmRxxy抽样响应的卷积输入自相关与系统单位输出序列的互相关等于输入)()()()()()(,jxjjyxjxjjxyeSeHeSeSeHeS响的乘积输入自功率谱与系统频输出序列互功率谱等于输入利用互相关定理分析系统的幅度谱和相位谱：)()()()()()()()()()(2jxyjyxjjjjxjyxjxjxyjeSeSeHeHeeSeSeSeSeH相位谱：幅度谱：1/19/2020204)均值定理)(0jxyeHmm频响应的乘积入序列的均值与系统零输出序列的均值等于输)()()]([)(])()([)]()([)()()()(0000jxmmxmynnnjjjeHmmmhmnxEmhmnxmhEnhnxEmnhenheHeH例4.5测定系统频响和单位抽样响应解用方差为1的白噪声序列作为激励源输入待测系统得到输出序列y(n)1/19/202021)()()()()()()()()()()(2jyjyjjyjyeSeSeSeSeHmhmhmmhmRmR可见：系统频响等于输入输出互功率谱系统单位抽样响应等于输入输出互相关函数例4.6测定延时系统的延时量)(),()()()(nynxlnnhzzHl输出序列输入序列或延时系统最大时，当)()()()()()()(lmRlmlmRlmmRmhmRmRxxxxxy求出输入输出互相关函数后，找出最大值项该项的m就是系统时延l解毕1/19/2020224.4随机信号的古典谱估计两种方法：相关法（间接法）周期图法（直接法）4.4.1相关谱估计设计步骤：)()(nxNnxN的有限长序列中截取长度一：从无限长序列NMMMmmnxnxNmRmRMnxNnNNxxN),1(,,1,0,1,),1()()(1)(ˆ)(ˆ)12()(10点的自相关函数序列求二：由1)1()(ˆ)(ˆMMmmjxjxemReS三：求功率谱相关谱估计1/19/202023长－－加延迟窗截成长－－加数据窗截成两次截断：)12()()(MmRNnxx的步骤：快速相关求)(ˆmRx1,,0,),1()(1121)(ˆ)12(.4)(1.3)()()12(.2)()12()(.11)1(12212212121212NNmkXNNmRIFFTNkXNkXFFTnxNnxNnxNNkmkNNxNNNNNW得点的求求得的点求点得充零至将212)(1)(kXNkSNMNx则直接有如1/19/2020244.4.2周期图法设计步骤：2)(1)(ˆ.3)()(.2)()(.1kXNkSkXDFTnxnxNnxNxNNN求得得频谱的求长得中截取从在时域是周期的默认稳且各态遍历认为随机序列是广义平周期图法的假设：)(.2