图与网络分析

第八章图与网络分析图的基本知识最短路径问题网络最大流问题网络最小费用流问题§1.图的基本知识一、图1、图：由一些点及一些点的连线所组成的图形。若V={V1,V2,…,Vn}是空间n个点的集合E={e1,e2,…,em}是空间m个边的集合满足1)V非空2)E中每一条线ei是以V中两个点Vs,Vt为端点3)E中任意两条线之间除端点之外无公共点.则由V、E构成的二元组合G=(V，E)就是图。2、子图：已知图G1（V1，E1）若V1V，E1E则称图G1（V1，E1）是图G=(V，E)的子图3、若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。4、多重边：图中某两点之间有多余一条的边，称之为多重边。多重图：含有多重边的图。5、简单图：无环、无多重边的图。6、子图、生成子图。二、连通图1、链：给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1,ei1,vi2,ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1](t=1,2,…,k-1)，则称为一条联结vi1和vik的链，称点vi2,vi3,…,vik-1为链的中间点。2、圈：链(vi1,vi2,…,vik)中，若vi1=vik,，则称之为一个圈。3、简单链：若链(vi1,vi2,…,vik)中，点vi1,vi2,…,vik都是不同的，则称之为简单链。4、连通图：图G中，若任何两个点之间，至少有一条链。三、树1、定义：一个无圈的连通图称为树。2、树的性质：1）图G是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰有一条链。2）在树中去掉任意一条边则构成一个不连通图，不再是树；在树中不相邻的两点之间添加一条边，恰好形成了一个圈，也就不再是树。3）树中顶点的个数为P，则其边数必为P-1。3、支撑树：设图T=(V,E’)是图G（V，E）的支撑子图，如果图T=(V,E’)是一个树，则称T是G的一个支撑树。4、寻找支撑树的方法1）破圈法：在图中任取一个圈，从圈中去掉任一边，对余下的图重复上述操作，即可得到一个支撑树。2）避圈法：每一步选取与已选的边构不成圈的边，直到不能继续为止。5、最小支撑树1）赋权图：给图G=(V,E)，对G中的每一条边[vi,vj]，相应地有一个数wij，则称这样的图G为赋权图，wij称为边[vi,vj]上的权。2）最小支撑树：如果T=(V,E’)是G的一个支撑树，称E’中所有边的权之和为支撑树T的权，记为w(T)，即w(T)=Σwij(vi,vj)∈T如果支撑树T*的权w(T*)是G的所有支撑树的权中最小者，则称T*是G的最小支撑树(简称最小树)w(T*)=minw(T)T3）求最小树的方法：方法一(避圈法)开始选一条最小权的边，以后每一步中，总从未被选取的边中选一条权最小的边，并使之与已选取的边不构成圈。方法二(破圈法)任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边。在余下的图中，重复这个步骤，一直到一个不含圈的图为止，这时的图便是最小树。例用破圈法求下图的最小树12222312222333445四、一笔划问题1、次：图中的点V，以V为端点的边的个数，称为V的次，记为d(V)。2、定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两倍，即设q边数，则Σd(vi)=2q，其中viV3、奇点：次为奇数的点。否则称为偶点。4、任一图中，奇点的个数为偶数。5、一笔划：可以一笔划：没有或仅有两个奇次点的图形如没有奇次点：任取一点，它既是起点又是终点。两个奇次点：分别选为起点和终点。五、有向图1、无向图：G（V，E）点集+边集2、弧：点与点之间有方向的边，叫做弧。弧集：A={a1,a2,…,am}3、有向图：由点及弧所构成的图，记为D=(V,A)，V,A分别是D的点集合和弧集合。4、环：某一条孤起点=终点，称为环。5、基础图：给定一个有向图D=(V,A)，从D中去掉所有弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列是D的一条链。7、路：如果(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的一条链，并且对t=1,2,…,k-1，均有ait=(vit,vit+1)，称之为从vi1到vik的一条路。8、回路：若路的第一个点和最后一点相同，则称之为回路。六、图的矩阵表示1、网络（赋权图）G=（V，E），其边（vi,vj）有权wij,构造矩阵A=（aij）n×n,其中：wij（vi,vj）∈E0其他称矩阵A为网络G的权矩阵。2、对于图G=（V，E），∣V∣=n,构造一个矩阵A=（aij）n×n,其中：wij（vi,vj）∈E0其他称矩阵A为网络G的权。第二节最短路问题一、引例：如下图中V1：油田，V9：原油加工厂求使从V1到V9总铺路设管道最短方案。V1V4V2V3V6V9V8V7V542466234442二、最短路算法1、情况一：wij≥0(E.W.Dijkstra算法)原理：Bellman最优性定理方法：图上作业法（标号法）标号：对于点,若已求出到Vi的最短值，标号（αi,βi)αi：表示到的最短路值βi:表示最短路中最后经过的点标号法步骤：1）给V1标号(0,Vs)2）把所有顶点分成两部分,X：已标号的点；X’未标号的点考虑与已标号点相邻的弧是存在这样的弧（Vi，Vj）,Vi∈X,Vj∈X’若不存在，此问题无解，否则转3）3）选取未标号中所有入线的起点与未标号的点Vj进行计算:min{αi+wij}=αj并对其进行标号(αj,Vi)，重复2）2、情况二：wij≤0设从V1到Vj(j=1,2,…,t)的最短路长为P1jV1到Vj无任何中间点P1j（1）=wijV1到Vj中间最多经过一个点P1j（2）=min{P1j（1）+wij}V1到Vj中间最多经过两个点P1j（3）=min{P1j（2）+wij}…….V1到Vj中间最多经过t-2个点P1j（t-1）=min{P1j（t-2）+wij}终止原则：1）当P1j（k）=P1j（k+1）可停止，最短路P1j*=P1j（k）2）当P1j（t-1）=P1j（t-2）时，再多迭代一次P1j（t），若P1j（t）=P1j（t-1），则原问题无解，存在负回路。例：求下图所示有向图中从v1到各点的最短路。v1v4v2v3v5v6v7v825-34674-23-1-342wijd(t)(v1,vj)v1v2v3v4v5v6v7v8v1v2v3v4v5v6v7v8025-30-2406400-30720320t=1t=2t=3t=4t=5t=6025-3020-3611020-36615020-3361410020-336910020-336910说明：表中空格处为+。例设备更新问题制订一设备更新问题，使得总费用最小第1年第2年第3年第4年第5年购买费1314161924使用年数0-11-22-33-44-5维修费810131827[解]设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台新设备”这种状态，以v6表示“第5年末”这种状态；以弧(vi,vj)表示“第i年初购置的一台设备一直使用到第j年初”这一方案，以wij表示这一方案所需购置费和维护费之和。这样，可建立本例的网络模型。于是，该问题就可归结为从图中找出一条从v1到v6的最短路问题。用Dijkstra标号法，求得最短路为v1v3v6即第一年初购置的设备使用到第三年初予以更新，然后一直使用到第五年末。这样五年的总费用最少，为78。v1v2v3v5v6v4214432228962316345244734273732(0，Vs)(0，V1)(31,V1)(44,V1)(62,V1)(78,V3)第三节最大流问题如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上的容量，问：该网络的最大流量是多少？vsv2v1v3v4vt432312234一、基本概念和基本定理1、网络与流定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧(vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。网络的流：定义在弧集合A上的一个函数f={f(vi,vj)}，称f(vi,vj)为弧(vi,vj)上的流量，简记fij。2、可行流与最大流定义2满足下列条件的流称为可行流：1)0fijcij2)平衡条件：中间点fij=fji(vi,vj)A(vj,vi)A发点vsfsj–fjs=v(f)(vs,vj)A(vj,vs)Aftj–fjt=–v(f)(vt,vj)A收点vt，(vj,vt)A式中v(f)称为这个可行流的流量，即发点的净输出量（或收点的净输入量）。3、增广链给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使fijcij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧，fij0的弧称为非零流弧。若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链的方向是从vs到vt，则链上的弧被分成两类：前向弧：弧的方向与链的方向一致全体+后向弧：弧的方向与链的方向相反全体—定义3设f是一可行流，是从vs到vt的一条链，若满足下列条件，则称之为（关于流f的）一条增广链：在弧(vi,vj)+上，0fijcij在弧(vi,vj)上，0fijcij4、截集与截量定义4给定网络D=(V,A,C)，若点集V被剖分为两个非空集合V1和V1，使vsV1，vtV1，则把弧集(V1,V1)称为是（分离vs和vt的）截集。截集是从vs到vt的必经之路。定义5给定一截集(V1,V1)，把截集(V1,V1)中所有弧的容量之和称为这个截集的容量(截量),记为C(V1,V1)。v(f)C(V1,V1)若对于一可行流f*，网络中有一截集(V1*,V1*)，使得v(f*)=C(V1*,V1*)，则f必是最大流，而(V1*,V1*)，必定是容量最小的截集，即最小截集。定理1任一网络D中，从vs到vt的最大流的流量等于分离vs，vt的最小截集的截量。步骤：2、标号过程1、选取一个可行流（可选择零流弧）从Vs出发，在前向弧上(vi,vj)，若fijcij，则给vj标号(vi,l(vj))，其中l(vj)=min[l(vi)，cij–fij]。在后向弧(vj,vi)上，若fji0，则给vj标号(–Vi,l(vj))，其中l(vj)=min[l(vi)，fji]。二、寻找最大流的标号法(FordFulkerson)思想：从一可行流出发，检查关于此流是否存在增广链。若存在增广链，则增大流量，使此链变为非增广链；这时再检查是非还有增广链，若还有，继续调整，直至不存在增广链为止。3、若标号延续到vt，表明得到一条从vs到vt的增广链，转入调整阶段4，否则当前流即为最大流。4、调整过程令调整量为=l(vt)令fij+(vi,vj)+fij´=fij–(vi,vj)—fij(vi,vj)去掉所有的标号，对新的可行流f´={fij´}，重新进入标号过程。可结合下图理解其实际涵义。vsv1v2v3v4vt(4,4)(8,1)(4,3)(2,2)(4,0)(2,2)(1,1)(7,2)(9,2)vsv1vtv4v2v3(9,7)(5,3)(3,2)(4,4)(5,5)(3,1)(2,1)(6,3)(7,7)例求下列网络的最大流与最小截集。[解]一、标号过程（2）检查vs,在弧(vs,v1)上,fs1=7,cs1=9,fs1cs1,则v1的标号为(vs,l(v1))，其中l(v1)=min{l(vs)，cs1–fs1}=min{+，9–7}=2（3）检查v1,在弧(v1,v4)上,f14=7,c14=9,f14c14,则v4的标号为(v1,l(v4))，其中l(v4)=min{l(v1)，c14–f14}=min{2，3-1}=2（4）检查v4,在弧(v3