高中数学选修4-4历年高考题全国卷含答案

1.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ23）已知曲线C1的参数方程为45cos,55sin,xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。【解析】将tytxsin55cos54消去参数t，化为普通方程25)5()4(22yx,即1C：01610822yxyx.将sincosyx代入01610822yxyx得016sin10cos82.（Ⅱ）2C的普通方程为0222yyx.由020161082222yyxyxyx，解得11yx或20yx.所以1C与2C交点的极坐标分别为)4,2(，)2,2(2.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ23）已知动点P，Q都在曲线C：2cos2sinxttyt为参数上，对应参数分别为t=α与t=2α（0＜α＜2π）,M为PQ的中点.（1）求M的轨迹的参数方程.（2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.【解题指南】(1)借助中点坐标公式，用参数表示出点M的坐标，可得参数方程.(2)利用距离公式表示出点M到原点的距离d,判断d能否为0,可得M的轨迹是否过原点.【解析】（1）依题意有2cos,2sin,2cos2,2sin2,PQ因此coscos2,sinsin2M.M的轨迹的参数方程为coscos2sinsin2xy2为参数，0（2）M点到坐标原点的距离2222cos,02dxy.当时，0d，故M的轨迹过坐标原点.11.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ23）与（2012·新课标全国高考理科·Ｔ23）相同已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,,,ABCD依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3.（1）求点,,,ABCD的直角坐标.（2）设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD的取值范围.【解题指南】（1）利用极坐标的定义求得A，B，C，D的坐标.（2）由1C方程的参数式表示出|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2关于的函数式，利用函数的知识求取值范围.【解析】（1）由已知可得2cos,2sin,2cos,2sin333232AB，332cos,2sin,2cos,2sin333232CD，即1,3,3,1,1,3,3,1ABCD.(2)设2cos,3sin,P令2222SPAPBPCPD，则2216cos36sin16S23220sin.因为20sin1,所以S的取值范围是32,52.12.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（为参数），M是C1上的动点，P点满足OP2OM,P点的轨迹为曲线C2.(Ⅰ)求C2的方程.(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.【思路点拨】第（Ⅰ）问，2OPOM意味着Ｍ为OP,的中点，设出点P的坐标，可由点M的参数方程（曲线1C的方程）求得点P的参数方程；第（Ⅱ）问，先求曲线1C和2C的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线3＝与1C的交点A的极径1，求得射线3＝与2C的交点B的极径2，最后只需求AB｜｜＝21|｜即可.【精讲精析】（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以2cos,222sin2xy即4cos,44sin,xy2cos22sinxy3AB,22xy从而的参数方程为，（为参数）.（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为.所以.11.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T23)(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈0,2.(1)求C的参数方程.(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.【解题提示】(1)先求出C的普通方程,然后再化为参数方程.(2)利用C的参数方程设出点D的坐标,利用切线与直线l垂直,可得直线GD与直线l的斜率相同,求得点D的坐标.【解析】（1）C的普通方程为2211xy(0≤y≤1).可得C的参数方程为1cossinxtyt(t为参数，0≤t≤π).（2）设D（1+cost,sint），由（1）知C是以G（1，0）为圆心，1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant=3,t=3.故D的直角坐标为1cos,sin33,即33,22.10.选修4-4:坐标系与参数方程(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T23)2C4cos44sinxy1C4sin2C8sin31CA14sin332CB28sin3在直角坐标系xOy中,曲线(t为参数,且t≠0),其中0≤απ,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标.(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立xyyxyx，解得xy，或xy.与交点的直角坐标为(,)和(,).(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤απ.因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4|sin(α-)|.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.1cos,:sin,xtCyt2C3C