三角恒等变换知识点归纳

第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantan（tantantan1tantan）；⑹tantantan1tantan（tantantan1tantan）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．222)cos(sincossin2cossin2sin1⑵2222cos2cossin2cos112sin升幂公式2sin2cos1,2cos2cos122降幂公式2cos21cos2，21cos2sin2．26、22tantan21tan．27、（后两个不用判断符号，更加好用）28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的BxAy)sin(形式。22sincossin，其中tan．29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的ααααααααααα半角公式sincos1cos1sincos1cos12tan2cos12sin;2cos12cos:2tan12tan1cos;2tan12tan2sin:222αααααα万能公式差异，使问题获解，对角的变形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；②2304560304515oooooo；问：12sin；12cos；③)(；④)4(24；⑤)4()4()()(2；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：oo45tan90sincottancossin122（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式cos1常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：_______________tan1tan1；______________tan1tan1；____________tantan；___________tantan1；____________tantan；___________tantan1；tan2；2tan1；oooo40tan20tan340tan20tan；cossin=；cossinba=；（其中tan；）cos1；cos1；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。如：)10tan31(50sinoo；cottan。基础练习一选择题1．已知510sin,sin,510且,为锐角，则的值是（）Ａ.4Ｂ.34Ｃ.74Ｄ.22．设,22则的范围是（）A．,0B.,C.,02D、,223．22cos75cos15cos75cos15（）A．62B、32C.54D.3144.若0,2，若3sin5，则2cos4（）A.75B.15C.75D.155.设22sinsinxym，则sinsinxyxy的值是（）A.mB.mC.2mD.2m6.在ABC中，已知53cos,sin,135AB则cosC的值是（）A.1565B.5665C.1665或5665D.16657.已知43cos,cos,55则tantan的值等于（）A.17B.17C.7D.78.使函数sin23cos2fxxx为奇函数，且在区间0,4上为减函数的的一个值为（）Ａ.3Ｂ.53Ｃ23Ｄ439.已知是第三象限角，且满足445sincos9，那么sin2的值等于（）Ａ233Ｂ223Ｃ23Ｄ2310.已知4,0,cos,25xx则tan2x等于（）Ａ724Ｂ724Ｃ247Ｄ24711.若43cos,sin,55则2的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12.已知,2，则1cos2等于（）A.sin2B.cos2C.sin2D.cos213函数2214cos4sin,,43fxxxx有（）A.最大值0，最小值8B.最大值5，最小值4C.最大值5，最小值3D.最大值221，最小值314.函数2sinsincosyxxx的最大值为（）A.2B.2C.21D.2115.函数12sincosyxx的最大值是（）A．212B.212C.212D.21216.函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为（）A．4B．2C．D．217.sin10sin50sin35sin55的值是（）A.2B.2C.12D.1218.若22coscos,m则coscos的值为（）A.1mB.1mC.1mD.1m19.ABC中，若sin2cossinABC，则ABC一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形20.函数sin3coscos3sinyxxxx的最小正周期为（）A.4B.2C.D.2奎屯新疆王新敞二填空题1.已知11sinsin,coscos,23则cos2.函数)(2cos21cos)(Rxxxxf的最大值等于3.已知cos0,则sin2sin4.若1sincos,2则cossin的取值范围是5.函数fxxxx()cossincos223的最小正周期是_____6.在ABC中，35cos,sin513AB，则sinC7.在三角形ABC中，若35sin,cos,513BA则cosC=8.若1sincos,2xx则33sincosxx9.已知2sincos,2xx那么cos4x10.在ABC中，已知3cos,5A则sin2A11.函数fxxxx()cossincos223的最小正周期是_____12.已知tan224，则sin13.sin3cos1212．14.在ABC中，35sin,cos,513AB那么cosC的值为．15.函数2sinsincosfxxxx（x为锐角）的值域是．16.若,0,2，且sinsin3coscos,则sin3sin3．17.化简1sin8018.在ABC中，sin2sin2AB，则ABC的形状是19.设0,2，若sin0,且cos20，则的范围是20.若sinyabx的值域是13,22，则此函数的表达式是三解答题1.已知33350,cos,sin4445413，求sin的值．2.已知11tan,tan,27且,0,,求2的值．3.已知1sincos1sincos1sincos1sincosf．（1）化简f；（2）求使4f的最小正角．4.某工人要从一块圆心角为3，半径为20cm的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接矩形桌面，求割出的矩形桌面的最大面积．高考试题库w。w-w*高考试题库高考试题库w。w-w*高考试题库5.已知1tan42．（1）求tan的值；（2）求2sin2cos1cos2的值．6.已知3177cos,,45124xx求2sin22sin1tanxxx的值．7.求证：242(1cos)sin4cos.2xx8.求证：221tansin21tan44．高考试题库w。w-w*高考试题库高考试题库w。w-w*高考试题库9.已知11sinsin,coscos43,求tan的值．10.在ABC中，求证：222sinsinsin21coscoscosABCABC高考试题库w。w-w*高考试题库高考试题库强化练习一选择题1．cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝()A.12B.32C.33D.3[答案]B[解析]cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32.2．cosπ3－α等于()A.12－cosαB.12cosαC.12cosα＋32sinαD.12cosα－32sinα[答案]C[解析]cosπ3－α＝cosπ3cosα＋sinπ3sinα＝12cosα＋32sinα.3．cos165°等于()A.12B.32C．－6＋24D．－6－24[答案]C[解析]cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－6＋24.4．满足cosαcosβ＝32－sinαsinβ的一组α，β的值是()A．α＝1312π，β＝3π4B．α＝π2，β＝π3C．α＝π2，β＝π6D．α＝π3，β＝π4[答案]B[解析]由条件cosαcosβ＝32－sinαsinβ得cosαcosβ＋sinαsinβ＝32，即cos(α－β)＝32，α＝π2，β＝π3满足条件．5．cos39°cos9°＋sin39°sin9°等于()A.12B.32C．－12D．－32[答案]B[解析]cos39°cos9°＋sin39°sin9°＝cos(39°－9°)＝cos30°＝32.6．cos555°的值为()A.6＋24B．－6＋24C.6－22D.2－64[答案]B[解析]cos555°＝cos(360°＋195°)＝cos(180°＋15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－6＋24.7．(福建高考)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()A.12B.33C.22D.32[答案]A[解析]∵sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43