中国古代数学史

大众数学史——中国古代数学数学是中国古代最为发达的基础学科之一。从公元前2世纪到公元14世纪初，中国数学一直居于世界数学发展的前列，是当时世界数学发展的主流。中国传统数学的特点（1）注重数学理论密切联系实际（2）以计算为中心（3）数学方法是“言约而用博”数学要通类，做到“问一类而以万事达”（4）位值制在中国传统数学中有特殊作用中国古代数学成就的主要载体：数学著作（如：九章算术；）传统数学的发展阶段：原始—西周（兴起）；春秋—东汉（确立）；东汉—唐（完成）；唐—元（高潮）；元—明末（传统数学的衰落以及珠算的发展）；明末—清末（新的里程碑）目录中国数学的兴起——原始社会至西周的数学1中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学3西方数学的传入与中西数学的会通——明末至清末的数学5中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学2中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学4中国数学的兴起——原始社会至西周的数学1.图形观念的形成与规矩准绳2.十进位值制记数法的形成与算筹的创造3.数学形成一门学科LOREMIPSUMDOLOR算筹与筹算算筹是中国古代的主要计算工具，用这种工具进行计算和演算则称为筹算。春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用。筹算记数法已使用十进位值制。《墨经》：“一少于二而多于五，说在建位。”这就是说，一在个位少于二，在十位就多于五，每个数字的大小除由它本身所表示的数值决定外，还要看它在整个数中所处的位置。根据后来约公元4世纪的《孙子算经》的记载，任何数都是由九个纵排数字和九个横排数字按个、百、万等用纵筹，十、千等用横筹来表示，零用空位表示。《周礼》中的六艺礼—礼节。五礼者，吉、凶、宾、军、嘉也。乐—音乐。六乐：云门、大咸、大韶、大夏、大镬、大武射—射箭技术。五射：白矢、参连、剡注、襄尺、井仪御—驾驶马车的技术。鸣和鸾、逐水车、过君表、舞交衢、逐禽左书—文学。六书：象形、指事、会意、形声、转注、假借数—算术与数论知识几何学《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理。商高曰:……折矩以为勾广三、股修田,径隅五…”中国数学的兴起—原始社会至西周的数学1.圆形观念的形成与规矩准绳人类在与自然接触的过程中认识了圆，古代用规画圆，用矩画方2.十进位制计数法的形成与算筹的创造十进位制计数法最早出现于殷商的甲骨文，在春秋时期已经相当的完善3.数学形成一门学科春秋，九九表和整数乘除法则已出现中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学1.数学家与数学经典2.分数、今有术与盈不足术3.面积、体积、勾股与测望4.开方术、正负术、方程术竹简著作《算数书》抄写于西汉初年（约公元前2世纪），成书时间应更早，是一部比较完整的，也是目前可以见到的中国最早的数学专著。全书采用问题集形式，共有69个小标题，，71条相当抽象的公式，近百道数学问题及其解法，内容包括整数和分数四则运算、比例问题、面积和体积问题等等。《算数书》1983年12月在湖北江陵张家山出土一本西汉初年的竹简《算数书》，收有许多应用的数学问题。据研究，出土《算数书》的汉墓的下葬时间，约在西汉吕后（公元前187-前180年在位）至汉武帝（公元前179-前157年在位）初年之间。《九章算术》《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。《周髀算经》大约成书于西汉时期（公元前1世纪）为赵君卿所作，北周时期甄鸾重述，唐代李淳风等注。中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学1.数学家与数学经典诸子百家与数学；秦汉数学简牍；《周髀算经》和陈子；《九章算术》和张苍、耿寿昌2.分数、今有术与盈不足术分数及其四则运算法则（b/a+d/c=bc/ac+ad/ac=(bc+ad)/ac;b/a÷d/c=bc/ac÷ad/ac=bc÷ad=bc/ad今有术与衰分术、均输术设A:B=a:b,则B=Ab÷a盈不足数3.面积、体积、勾股与测望面积s=1/2lr=1/4ld体积V=1/3abhv=1/6abh;v=1/6[(2b1+b2)a1+(2b2+b1)a2)]h;v=1/36(l1l2+l1*2+l2*2)h勾股定理与解勾股形(c+a):b=m:n(m表示勾弦并率，n表示股率）勾股容方容圆d=2ab/a+b+c4开方数、正负数、方程术开方数X*n=A(n=2)a0x*n+a1x*(n-1)+……+a(n-1)x=A正负数（+-a）-(+-b)=(+-(a-b))a=b;(+-a)-(+-b)=(-+(b-a)),a=b方程数中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学1.东汉末至唐中叶数学概论2.算之纲纪——率与齐同原理3.测望4.不定问题5.无穷小分割和极限思想6.刘徽的逻辑思想和数学理论体系魏晋数学的发展与辩难之风吴国赵爽注《周髀算经》汉末魏初徐岳撰《九章算术》注魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》1卷玄学是魏晋时期的主要哲学思潮，是道家和儒家融合而出现的一种文化思潮，也可以说是道家之学以一种新的表现方式，故又有新道家之称。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的5个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。刘徽，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽从率（后称为比）的定义出发论述了分数运算和今有术的道理，并推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程组和正负数的定义阐明方程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方程组的解只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加法消元可以统一为一种方法。在开方求得整数后，还可以继续开方—“求其微数”。解决了求无理根的问题，还提出了十进小数的方法。他创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率157/50和3927/1250。他提出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽实际上应用了下列公理：等高的两立体，若其任意同高处的水平截面积成比例，则这两立体体积亦成同样的比例；并根据这个公理，指出球的体积与其外切“牟合方盖”的体积之比为π:4。中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学1.东汉末至唐中叶数学概论徐岳《数术记遗》；赵爽与《周髀算经注》；刘微与《九章算术注》《海岛算经》算之纲纪——率与齐同原理测望1、重表法2、《数术记遗路》的测望问题不定问题无穷小分割和极限思想割圆术π=lim(n→∞）1/2*sin(360/n)*n刘微原理圆体体积与祖恒之原理刘微的逻辑思想和数学理论系统体系数学定义；改变了对《九章算术》对概念约定俗成的做法，给数学概念以明确的定义。数学证明：三段论，关系推理，假言推理，选言推理，联言推理，二难推理等重要的推理形式。中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学1.唐中叶至元中叶数学概论2.计算技术的改进和珠算的发明3.勾股容圆4.高次方程数值解法5.天元术和四元术6.垛积数、招差术7.大衍总数术与纵横图概述960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》。1213年鲍干澣之又进行翻刻。这些情况为数学发展创造了良好的条件。从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪（11世纪中期）的《黄帝九章算法细草》（已失传），刘益（12世纪中期）的《议古根源》（已失传），秦九韶的《数书九章》（1247），李冶的《测圆海镜》（1248）和《益古演段》（1259），杨辉的《详解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》（1274～1275），朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）等，很多领域都达到古代数学的高峰。其中一些成就也是当时世界数学的高峰。高次方程数值解法把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情形）解法的是刘益（12世纪中期）。《杨辉算法》中《田亩比类乘除捷法》卷下介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程（最高次数为10）的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常数项规定为负数。他把高次方程解法分成各种类型，如：n次项系数不等于1的方程，奇次幂系数均为零的方程，进行x=y+c代换后常数项变号的方程与常数项符号不变而绝对值增大的方程等。方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母、常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第2位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第2位数的试除法。秦九韶的方法比霍纳方法早500多年。中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学1、唐中叶至元中叶数学概论传统数学的高潮与唐中叶开始的社会变革4、高次方程数值解法贾宪和《黄帝九章算经细草》；秦九昭和《数学九章》；李治和《测圆海镜》《益古演段》立成释锁法与贾宪三角杨辉和《详解九章算法》《杨辉算法》；朱世杰和《算学启蒙》《四元玉鉴》增乘开方法2、计算技术的改进和珠算的发明立成释锁法3、勾股容圆增乘开方法o和十进小数珠算的产生5、天元术和四元术勾上容圆d=2ab/(b+c)股上容圆d=2ab/c勾股上容圆d=2ab/c；弦上容圆d=2ab/a+b天元术四元术6、垛积术和招差术垛积术招差术7、大衍总数术与纵横图大衍总数术纵横图西方数学的传入与中西数学的会通——明末至清末的数学1.西方初等数学的传入2.西方数学传入的中断及传统数学著作的整理3.近代数学的传入西方数学的会通1701年法国人杜德美带来J.格雷果里的“弧求正弦”、“弧求正矢”和I.牛顿的“圆径求周”三个无穷级数的公式，但没有证明。1800年前后，明安图、董祐诚、项名达各自依据《数理精蕴》提出的“连比例”方法，对这些级数进行研究，获得一些创造性结果。明安图著有《割圆密率捷法》4卷（1774年由他的学生陈际新定稿），他除了证明杜德美传入的3个公式外，还创造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通弦求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧”6个新的公式。西方数学的传入与中西数学的会通——明末至清末的数学1、西方初等数学的传入十六世纪末开始，西方传教士开始到中国活动，由于明清王朝制定天文历法的需要，传教士开始将与天文历算有关的西方初等数学知识传入中国，中国数学家在“西学中源”思想支配下，数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。2、西方数学传入的中断及传统数学著作的整理十六世纪末，西方传教士和中国学者合译了许多西方数学专着。其中第一部且有重大影响的是意大利传教士利马窦和徐光启合译的《几何原本》前6卷〔1607〕，其严谨的逻辑体系和演译方法深受徐光启推崇。徐光启本人撰写的《测量异同》和《勾股义》便应用了《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术