离散数学 第五章：2代数系统及其子代数和积代数 3代数系统的同态与同构

1第五章代数系统的一般性质5.2代数系统及其子代数和积代数21)N,＋,Z,＋,·,,R,＋,·,都是代数系统,其中＋为普通加法,·为普通乘法,定义5-12一个非空集合S和定义在该集合上的一个或多个运算所组成的系统称为代数系统。用记号表示。n,,,21,,,,nS122)Mn(R),＋,·是代数系统,其中＋和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.3)P(S),,,~也是代数系统,它包含两个二元运算和一个一元运算.例如,5．2代数系统及其子代数和积代数一、代数系统34)Zn,,是代数系统，其中代数常数二元运算的幺元或零元,对系统性质起着重要的作用,称之为系统的特异元素,或代数常数.,Z的幺元为零,也可记作,0,Z(),,,~,,PSS,也可记作(),,,~PS中和的幺元分别为,S4二、子代数12,,,,kVS定义5-9设是一个代数系统，,BSB且如果B对12,,,k也是封闭的，且B和S含有相同的代数常数,简称子代数。例如:1)N,＋,0是Z,＋,0的子代数,因为N对加法封闭,且它们都具有相同的代数常数0.是V的子代数系统,12,,,,kB则称2)N-{0},＋不是Z,＋,0的子代数.因为代数常数0不出现在N-{0}中.5这种最大与最小的子代数称为V的平凡的子代数．如果令V中所有的代数常数构成的集合是B,且B对V中所有的运算都是封闭的,那么,B就构成了V的最小的子代数.如果V的子代数12,,,,kVB满足BS,则称V’是V的真子代数.对任何代数系统12,,,,kVS其子代数一定存在.最大的子代数就是V本身.6而其他的子代数都是V的非平凡的真子代数.,,0,VZ令例1.设,nZnzzZn为自然数,证明:nZ是V的子代数.证明:任取nZ中的两个元素1212,(,),nznzzzZ则有1212,nznznzznZ即nZ对＋运算是封闭的．00,nnZ所以,nN是Z,＋,0的子代数.并且注:当n=1时,nZ就是V本身,当n=0时,0Z={0}是V的最小的子代数,7三.代数系统的积代数定义5－14设代数系统11,VS22,VS和其中和都是二元运算。和的积代数是一个代数系统1V2V21VV12,VVS即,其中12111112{(,)|,}SSSxyxSyS是二元运算，定义为对任意的1122(,),(,)xyxyS11221212(,)(,)(,)xyxyxxyy8例2设有代数系统其中，和分别是模2和模3的加法，即112223;,;,VSVS1{0,1},S2{0,1,2}S2312212mod2()xxxx13212mod3()yyyy20110101021010202121021031122122132(,)(,)(,)xyxyxxyy1212;VVSS根据定义5－14，积代数其中对于任意，12{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)}SS112212(,),(,)xyxySS求积代数12.VV运算表如下：解:9)1,0()0,0()2,0()1,1()0,1()2,1()0,0()2,0()1,0()0,1()2,1()1,1()2,0()1,0()0,0()2,1()1,1()0,1()1,1()0,1()2,1()1,0()0,0()2,0()0,1()2,1()1,1()0,0()2,0()1,0()2,1()1,1()0,1()2,0()1,0()0,0()2,1()1,1()0,1()2,0()1,0()0,0()2,1()1,1()0,1()2,0()1,0()0,0(运算的运算表如下:20110101021010202121021031011223,,,(),zMzMZMR对任意的例2.设123,,(),,VZVMR其中＋和分别表示整数加法和矩阵乘法,11221212,,,zMzMzzMM都有例如1000010015,0103,0102,010.011001011123(),,VVZMR求积代数12.VV解:积代数如下:12VV11如果原来的两个代数系统分别含有代数常数,比如说V1的代数常数为a1,V2的代数常数为a2,a1,a2就是积代数V1×V2中的代数常数．例如,那么积代数V1×V2的代数常数就是123,,,(),,1000010001,VZVMR1231000,01000()1,,.VVZMR这时1000,010001123个代数系统的积代数:,,0,VZ例如那么有,,0,0,0,VVVZZZ并且对任意的111222,,,,,,xyzxyzZZZ有111222121212,,,,,,xyzxyzxxyyzz13积代数的性质:则积代数中相应的二元运算也是可交换的1)如果1V2V和中的二元运算都是可交换的的幺元,2e1e和2)如果1V2V和分别为11,x1V1x在3)如果中的逆元为12,x2V2x在中的逆元为12VV那么在积代数中,12,xx的逆元就是1112,.xx(可结合的或幂等的),(可结合的或幂等的)．12VV12,ee就是积代数的幺元.那么14练习1．通常数的减法运算能否和下列集合构成一个代数系统.（2）非负整数集Z()（3）整数集I（）（4）有理数集Q（）NYY2．设代数系统，其中I表示整数集，＋和·分别表示通常的加法和乘法运算，下面的各个子集，它是否能构成V的子代数？（1）（2）,;IV}|12{1InnH}|2{3InnH()()3．设代数系统，其中二元运算定义为中较大的数,则有个子代数。A．3B．6C．7D．8yxyx与V};3,2,1{VNYC154.3代数系统的同态与同构一、代数系统的同态1．同态的概念定义5-1设1122,,VSVS和＝是代数系统，◦和*是二元运算,()()()xyxy满足对于任意1,,xyS有则称是从1V的一个同态映射,简称同态．2V到12:SS如果存在映射16例1.设12,,,,nVZVZ其中＋和分别表示普通加法和模n的加法,即mod().nxyxy,,nxyZ有{0,1,2,,1}.nZn这里令mod:,()(),nnZZxx则是从的同态．2V到1V解:因为对任意x,y∈Z有modmodmod()()()()()().nnnxyxyxyxy17例2.令:,(),xRRxe则是从的同态．,R到,R解:因为对任意x,y∈R有()()().xyxyxyeeexy18的同态,22,VS是从到11,VS定义5.16设是V1在下的同态象．则称1(),S的同态,22,VS是从到11,VS定义5.17设如果是满射的,则称是从1V的一个满同态．2V到如果是单射的,则称是从1V的一个单同态．2V到如果是双射的,则称是从1V的一个同构,记作2V到2.同态象、同构12VV19(1),,VZ例3.给定,aZ:,(),.aaZZxaxxZ令到自身的同态.则:V是证:任取12,zzZ有12121212()()()(),aaazzazzazazzz所以到自身的同态,这时也称为V的自同态.V是20,zZ0a1)当时,有0()0,Z0称为零同态,其同态象为{0},.,zZ1a2)当时,有1(),ZZ1为Z的恒等映射,显然是双射,1为V的自同构.这时称同理可证11也为V的自同构.,zZ0,1aa3)当时,有(),aZaza易证是单射的,这时a为V的单同态,其同态象为,aZ是,Z的真子集.,,Z其同态象就是(1),,VZ例3.给定,aZ:,(),.aaZZxaxxZ令到自身的同态.则:V是2112;,;,VVN(2)令定义(),.:N如下:是从的同态．2V到1V证明:证易证是从的映射．且满足:2V到1V12,有12121212()()(),是从的同态,且是满同态,其同态象就是2V到1V所以,2.V注如果∑中只含有一个字母,比如说a,那么{},nanN这时是双射的,就是是的同构.2V到1V22二.一般的代数系统的同态定义5.15的同态概念可以推广到一般的代数系统中去.1.先考虑具有两个二元运算的代数系统定义5-1’设1122,,,,VSVS和＝是代数系统，(1)()()(),(2)()()()xyxyxyxy如果存在映射12:SS满足对于任意1,,xyS有则称是从1V的一个同态映射,简称同态．2V到类似的,也可以把同态概念推广到具有两个k元运算的代数系统都是二元运算.,,,其中23例4.设12,,,,,,nVZVZ其中＋和普通加法和乘法,modmod(),().nnxyxyxyxy,,nxyZ有{0,1,2,,1}.nZn这里令mod:,()(),nnZZxx则是从的同态．2V到1V解:对任意x,y∈Z有modmodmod()()()()()(),nnnxyxyxyxy表示和表示模n的加法和模n的乘法,即是从的同态,且是满同态.2V到1V所以,modmodmod()()()()()().nnnxyxyxyxy242.具有一元运算的代数系统中的同态定义5-1”设1122,,,,VSVS和＝是代数系统，如果存在映射11(1)()()(),,,(2)(())(()),,xyxyxySxxxS12:SS满足则称是从1V的同态．2V到是二元运算,,其中是一元运算.,25例5.设112;,,;,,VRVR其中＋和普通加法和乘法,:,(),xRRxe则是从的同态．2V到1V解:对任意x,y∈Z有表示是从的同态.2V到1V所以,x表示x的相反数,1x表示x的倒数.令(1)()()(),,,xyxyxyeeexyxyR11(2)()()(()),,xxxeexxR263.具有代数常数的代数系统之间的同态定义5-1”’设111222,,,,VSkVSk和＝是代数系统，如果存在映射1121(1)()()(),,,(2)(),,xyxyxySkkxS12:SS满足则称是1V的同态．2V到是二元运算,,其中是代数常数.1122,kSkS27例6.设12,,0,,,0,nVZVZ其中＋,,nxyZmod:,()(),nnZZxx则是的同态．2V到1V解:对任意x,y∈Z有modmodmod()()()()()(),nnnxyxyxyxy表示普通加法,表示模n的加法,令是从的同态.2V到1V所以,mod(0)(0)0,n28三、同态的性质1122,,,,,,VSVS定理设是具有两个二元运算的代数系统,是的同态,2V到1V则的性质:具有以下)（1）若(或