3.2.1几个常用函数的导数 课件

1§3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数23理解各个公式的证明过程，掌握常用函数的导数公式，并能灵活运用公式求某些函数的导数．重点是：掌握常用函数的导数公式，并会运用公式求简单函数的导数．难点是：常用函数的导数的正确应用.41.用导数的定义求函数y＝f(x)的导数的步骤：(1)求增量Δy＝________________；(2)求比值ΔyΔx＝________________；(3)求极限limΔx→0ΔyΔx＝________________.fx＋Δx－fx()()fxxfxx＋－()()lim0xfxxfxx＋－52．常用函数的导数(1)函数y＝c(c为常数)的导数y′＝________，(2)函数y＝x的导数y′＝________，(3)函数y＝x2的导数y′＝________，(4)函数y＝1x的导数y′＝________，(5)函数y＝x的导数y′＝________，3．函数y＝f(x)在点x＝x0处的切线方程是________.012x21x12xy－fx0＝f′x0x－x06思考探究根据函数f(x)＝c和f(x)＝x的导数，描述其物理意义．提示：由f′(x)＝c′＝0可解释为：某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．由f′(x)＝(x)′＝1可解释为：某物体做瞬时速度为1的匀速运动．71.已知函数f(x)＝35，则f′(x)＝()A．3B．5C．0D．不存在解析：∵f(x)＝35＝243为一个常数，∴f′(x)＝0.故选C.答案：C8金手指驾校网金手指驾驶员考试2016科目1考试网科目1考试安全文明网文明驾驶考题安全文明考试网文明驾驶模拟考试GrammarFocus92．函数f(x)＝x，则f′(3)＝()A.36B．0C.12xD.32解析：∵f′(x)＝12x，∴f′(3)＝123＝36.故选A.答案：A103．曲线y＝12x2－2在点x＝1处切线的倾斜角α是()A．0°B．45°C．135°D．－45°解析：∵f′(x)＝x，∴f′(1)＝1，∴k＝1，∴α＝45°.故选B.答案：B114．y＝x在点A(1,1)处的切线方程是________．解析：kA＝y′|x＝1＝12·x12|x＝1＝12，∴切线方程为y－1＝12(x－1)，即x－2y＋1＝0.答案：x－2y＋1＝0125．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．13解：y′＝(x2)′＝2x，设切点M(x0，y0)，则y′|0xx＝＝2x0.因为PQ的斜率k＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12，所以切点M(12，14)．所以所求切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.14151.函数y＝f(x)＝c的导数为y′＝0.y′＝0的几何意义为函数y＝c图象上每一点处的切线的斜率都为0.若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．162.函数y＝f(x)＝x的导数为y′＝1.y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处的切线的斜率都为1，若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3.函数y＝x2的导数为y′＝2x.y′＝2x表示函数y＝x2图象上点(x，y)处的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释当某物体做变速运动时，它在时刻x的瞬时速度为2x.174．函数y＝f(x)＝1x的导数为y′＝－1x2.5.函数y＝f(x)＝x的导数y′＝12x.18求切线方程例1求曲线y＝1x在点M(3，13)处的切线方程．[分析]利用(1x)′＝－1x2求出切线的斜率，然后写出方程．19[解]因为y′＝(1x)′＝－1x2，所以y′|x＝3＝－19.所以过(3，13)点斜率为－19的切线方程为y－13＝－19(x－3)，即y＝－19x＋23.[点拨]由导数的几何意义求出切线的斜率，再代入点斜式即可求出切线方程．20练1求曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程．[解]∵y′＝(x2)′＝2x，∴y′|x＝1＝2，即所求切线的斜率为2.∴所求切线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.21与导数有关的方程问题例2已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x)＋1＝g′(x)的x值．[分析]要求x的值，需利用导数的定义求出f′(x)、g′(x)，然后解方程．22[解]由导数的定义知，f′(x)＝limΔx→0ΔfΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x，g′(x)＝limΔx→0ΔgΔx＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2.即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－13.[点拨]本题将求导数与解方程联系在一起．23练2已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(1)与f(－1)的大小关系是()A．f(1)＝f(－1)B．f(－1)f(1)C．f(－1)f(1)D．无法确定24[解析]由导数的定义知，f′(1)＝limx→1fx－f1x－1＝limx→1x2＋2xf′1－1－2f′1x－1＝limx→1x－1x＋1＋2f′1x－1x－1＝limx→1[(x＋1)＋2f′(1)]＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f(x)＝x2－4x，∴f(－1)＝5，f(1)＝－3.[答案]C25导数的应用例3求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．[分析]与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，故可用导数的几何意义求出切点坐标，再用点到直线的距离公式求出最短距离，也可用函数知识解决．26[解]解法一：依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)．∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，切点坐标为(12，14)．∴所求的最短距离d＝|12－14－2|2＝728.27解法二：设与抛物线y＝x2相切且与直线x－y－2＝0平行的直线l的方程为x－y＋m＝0(m≠－2)．由x－y＋m＝0，y＝x2，得x2－x－m＝0，其判别式Δ＝1＋4m＝0，∴m＝－14，∴直线l的方程为x－y－14＝0，由两平行线间的距离公式得所求的最短距离d＝|－2＋14|2＝728.28解法三：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝|x－x2－2|2＝|x2－x＋2|2＝22|x2－x＋2|＝22(x－12)2＋728，当x＝12时，d有最小值728，即所求的最短距离为728.29练3设直线l1与曲线y＝x相切于P，直线l2过P且垂直于l1，若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于K点，求KQ的长．30[解]设P(x0，y0)，则kl1＝y′|0xx＝＝12x0.由于l2与l1垂直，故2lk＝－2x0.于是l2：y－y0＝－2x0(x－x0)．令y＝0，则－y0＝－2x0(xQ－x0)，即－x0＝－2x0(xQ－x0)，解得xQ＝12＋x0.易见xK＝x0，于是|KQ|＝|xQ－xK|＝12.3132一、选择题1.12′等于()A.12B．1C．0D.2解析：常数的导数是0.答案：C332．若y＝x，则y′等于()A.1xB.2xC.12xD．不存在解析：y′＝(x)′＝12x.答案：C343．给出下列命题：①若y＝π，则y′＝0；②若y＝3x，则y′＝3；③若y＝1x，则y′＝－12x；④若y′＝3，则y＝3x.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①②正确．答案：B354．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则这样的切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定解析：本题切线的条数是由切点的个数来决定的，设切点为(x0，x30)，∵y′＝3x2，∴3x20＝1，∴x0＝±33，即切点有两个，故斜率为1的切线有两条．答案：B365．曲线y＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时，P点坐标为()A．(－2，－8)B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8)D．(－12，－18)解析：设P(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20，即3x20＝3，所以x0＝1或x0＝－1，代入y＝x3有P(1,1)或(－1，－1)．.答案：B376．在下列四个命题中，真命题的个数为()①曲线y＝x3在原点处没有切线；②若函数f(x)＝x，则f′(0)＝0；③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；④函数y＝x5的导函数的值恒非负．A．1B．2C．3D．4解析：y＝x3在(0,0)处的切线为y＝0；f(x)＝x在x＝0处不可导；加速度是动点速度函数v(t)对时间t的导数；y′＝(x5)′＝5x4≥0.答案：A38二、填空题7．已知f(x)＝1x，g(x)＝mx，且g′(2)＝1f′2，则m＝________.解析：∵f′(x)＝－1x2，∴f′(2)＝－14，又∵g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，由g′(2)＝1f′2得m＝－4.答案：－4398．曲线y＝13x3在点(1，13)处的切线与直线x＋y－3＝0的夹角为________．解析：∵y′＝x2，y′|x＝1＝1，∴切线的斜率为1，又已知直线的斜率为－1，∴两直线垂直，故两直线的夹角为90°.∴应填90°.答案：90°409．曲线y＝1x和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________．41解析：由y＝1x，y＝x2，得交点A的坐标为(1,1)．由y＝x2得y′＝2x，∴y＝x2在点A(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.42由y＝1x得y′＝－1x2，∴y＝1x在点A(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2，如右图所示，S△＝12×32×1＝34.答案：3443三、解答题10．已知曲线y＝5x，求曲线上与直线y＝2x－4平行的切线的方程．44解：设切点为(x0，y0)，由y＝5x得，y′|0xx＝＝52x0.∵切线与y＝2x－4平行，∴52x0＝2，解得x0＝2516.∴y0＝254，∴所求切线方程为y－254＝2(x－2516)，即2x－y＋258＝0，即16x－8y＋25＝0.4511．试求过点P(2，－1)且与曲线y＝x2相切的直线的方程．46解：点P(2，－1)不是曲线y＝x2上的点，设切点为M(x0，y0)，则y0＝x20①y′＝2x，∴y′|0xx＝＝2x0.又kPM＝y0＋1x0－2，∴2x0＝y0＋1x0－2②47由①②解得：x0＝2＋5或x0＝2－5.当x0＝2＋5时，切线斜率k＝2x0＝4＋25.此时切线方程为y＋1＝(4＋25)(x－2)，即(4＋25)x－y－9－45＝0.当x0＝2－5时，切线斜率k＝2x0＝4－25，此时切线方程为y＋1＝(4－25)(x－2)，即(4－25)x－y－9＋45＝0.∴满足条件的切线方程为：(4＋25)x－y－9－45＝0或(4－25)x－y－9＋45＝0.4812．求证：在双曲线xy＝a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数(如图)．49证明：因为xy＝a2，所以y＝a2x，所以y′＝(a2x)′＝－a2x2，函数y＝a2x在图象上的任一点(x0，y0)处的切线斜率k＝－a2x20，y0＝a2x0，所以切线方程是y－y0＝k(x－x0)，50即y－a2x0＝－a2x20(x－x0)，令x＝0，得y＝2a2x0，令