3.2.1几个常用函数的导数_上课用

3.2.1几个常用函数的导数高二数学选修1-1第三章导数及其应用一、回顾复习1.求函数的导数的方法是：（三步走：求增量，算比值，求极限）(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数说明:上面的方法中把x换成x0即为求函数在点x0处的导数.2.函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,即.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf3.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.4.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。0()fx（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000()()().yfxfxxx二、讲授新课—几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.0()CC公式一：为常数:(),yfxC解1)函数y=f(x)=c(C为常数）的导数.()()0,yfxxfxCC0,yx0()lim0.xyfxCx物理意义：若y＝c表示路程关于时间的函数，则y'＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.几何意义：常数函数在任何一点处的切线都平行于x轴。二、讲授新课—几种常见函数的导数'1x公式二：:(),yfxx解2)函数y=f(x)=x的导数.()()(),yfxxfxxxxx1,yx0()'lim1.xyfxxx物理意义：若y＝x表示路程关于时间的函数，则y'＝1可以解释为某物体的瞬时速度为1的匀速运动.几何意义：表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1探究：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据定义，求出它们的导数.xyO123456781234xy2xy3xy4①从图象上看，它们的导数分别表示什么？②这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？直线的斜率.y=4x增加得最快，y=2x增加得最慢.③函数y＝kx(k)增的快慢与什么有关？当k0时,导数越大,递增越快；当k0时,导数越小,递减越快.二、讲授新课—几种常见函数的导数2'2xx公式三：（）2:(),yfxx解3)函数y=f(x)=x2的导数.222()()()2,yfxxfxxxxxxx222,yxxxxxxx220002()()'limlimlim(2)2.xxxyxxxfxxxxxxx二、讲授新课—几种常见函数的导数几何意义：y'＝2x表示函数y＝x2图象上每点(x,y)处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化：(1)当x0时，随着x的增加，y＝x2减少得越来越慢；(2)当x0时，随着x的增加，y＝x2增加得越来越快.物理意义：若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y‘＝2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.3)函数y=f(x)=x2的导数.二、讲授新课—几种常见函数的导数2'2xx公式三：（）211'xx公式三：（）1:(),yfxx解4)11()()()xyfxxfxxxxxxx1,()yxxxx200111()()'limlim.()xxyfxxxxxxx二、讲授新课—几种常见函数的导数探究：①如何求该曲线在点(1，1)处的切线方程？所以其切线方程为,1)1(fk.2xy,91)3(fk).31(913xy所以其切线方程为31②改为点(3，)，结果如何？的导数函数xxfy1)(公式五:1()2xx()()()()1()yfxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx0011limlim()2xxyyxxxxx的导数）函数xxfy5二、讲授新课—几种常见函数的导数21)()2)(),3)(),14)(),yfxCyfxxyfxxyfxx'1y21'yx'2yx'0y()nfxx猜想？当时nR'n-1f(x)=nx'f(x)=?探究：例1：求下列函数的导数三.典例分析小结：对于简单函数的求导关键是学会合理转化关系式，即求导过程中，可以根据函数的特征，将式子结构适当调整，如根式，分式可转化为指数式，进而选择合适的求导公式，以便可以直接利用公式求解.).2(,)1(3fxy求已知213333)(xxxy解：12)2(3)2(2f312222)(xxxy解：2722712)3(2)3(3f).3(,1)2(2fxy求已知例2:小结：利用导数公式求函数在某点处的导数，大大减小了运算量，而且对于原来用定义无法解决的函数求导也找到了一个新的思路。.,4)1(,)(1afxxfa求实数且、已知课堂练习)()1(5)(.2fxf，则如果函数CA.5B.1C.0D.不存在)()41,21(.32处切线的倾斜角为在点曲线xy45.D4.C6.B4.AC四、小结3.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题.1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；(几个常用函数的导数及用导数定义求导数的方法步骤.)注意：在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用.2.几个常用函数的导数的物理意义和几何意义.一、复习1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.2.导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率;物理意义：物体在某一时刻的瞬时度。3.函数导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx在不致发生混淆时，导函数也简称导数．(瞬时速度或瞬时加速度)4.函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义；(1)求，并化简；(2)观察“x趋于0时，化简后的式子趋于哪个定值”；(3)此定值即为函数的导数.xyxy5.求函数的导数的步骤：'00()6fxx'()6fxx2()3fxxf(x)在x=x0处的导数f(x)的导函数x=x0时的函数值问题1:用导数的定义求下列各函数的导数：(1)f(x)=kx+b(k,b为常数）为常数）C(Cf(x))2(f’(x)=(kx+b)’=kf’(x)=(c)’=0几种常见函数的导数1、常函数：2、一次函数：0Ckbkx)(特别：1x3)3()2)(2()32)(1(xx)4)(6()5)(5()4(xx－20－2110练习:问题2:用导数的定义求下列各函数的导数：(4)f(x)=x2(5)f(x)=x3x)x(f)7(x1)x(f)6(x)x()3(f为常数）(x)x)(1(1'3.幂函数:几种常见函数的导数1)1(x1))(2(2xx2))(3(3x23x)1)(4(x21x公式:.)()(1Qnnxxnn请注意公式中的条件是,但根据我们所掌握的知识,只能就的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.Qn*Nn思考:你能否将今天所学的这几个常用函数的求导公式进行归纳总结，有特殊函数拓展到适合某一类函数的求导？探究：画出函数y=1/x的图像。根据图像，描述它的变化情况。并求出曲线在点（1,1）处的切线方程。x+y-2=0基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa'n'n-1''x'xx'x'a'若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e1若f(x)=logx，则f(x)=xlna1若f(x)=lnx，则f(x)=x)sincos()(cot;)cossin()(tanxxxxxx例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，(1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。(2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。(3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。三.典例分析题型：求曲线的切线方程'2yx解(1),(2)：11(,)24M切点2(1,1),(2,4)PQyx都是曲线上的点。11'|2,xPy过点的切线的斜率k22'|4,xy过Q点的切线的斜率k12(1),210Pyxxy过点的切线方程:即：。44(2),440yxxy过Q点的切线方程:即：。'2yx解(3)：411,21PQ直线的斜率k00'|21,xxyx切线的斜率k01,2x11,440214yxxy与PQ平行的切线方程:即：。;2)11.yxy例2.已知，1)求求曲线在点（，）处的切线方程12()'()'yxx解1)：1:1(1).2yx2)切线方程11212x1.2x1212x22x11即：y=4;2)11.yxy例1.已知，1),求求曲线在点（，）处的切线方程3'414yx1344yx练习1：求双曲线y＝1x在点(2，12)处的切线方程．解：∵y′＝－1x2，∴y′|x＝2＝－14.∴切线方程为y－12＝－14(x－2)，即：x＋4y－4=0练习2：求抛物线y＝14x2在点(4，74)处的切线方程．00,),xy解：设切点(01',2kyx又切线0001(),2yyxxx切线方程：74切线过(4,),20014yx①00071(4)42yxx，200017224yxx②0017xx解①②得:或149),44切点为(1，)或(7,11491(1)(4)4242yxyx切线方程：或24104490xyxy即：或14例3求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．解：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x20－2故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0②又∵(1，－1)在切线上，解得x0＝1或x0＝－12.∴将②代入③式得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．故所求的切线方程为：y＋1＝x－1或y＋1＝－54(x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.∴－1－y0＝(3x20－2)(1－x0)③则切线斜率为k＝1或k＝-54化简得2x30－3x20+1＝0．分解因式得(x0-1)2(2x0+1)＝0．练习3：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．解：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，又曲线过点(2，－1)，曲线过点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4