习题课(二)

主要内容多元函数微分学的几何应用多元函数的极值复变函数的导数与解析函数习题课（二）例1．求抛物柱面2xz及圆柱面122yx相交所成的空间曲线在)259,54,53(M处的切线方程和法平面方程。解：曲线的参数方程为2cossincoszyx，则sin)(x，cos)(y，cossin2)(z，点M对应于53arccos，故54)(x，53)(y，2524)(z，切线的方向向量为}24,15,20{251}2524,53,54{，故切线方程为2425915542053zyx，法平面方程为0)259(24)54(15)53(20zyx，即025216241520zyx。例2．求曲线0453203222zyxxzyx在点)1,1,1(处的切线方程与法平面方程。所求切线的方向向量}1,9,16{21nna，法平面方程为0)1()1(9)1(16zyx，即024916zyx。解：曲面03222xzyx在点)1,1,1(处的法向量为}2,2,1{}2,2,32{)1,1,1(1zyxn，平面04532zyx的法向量为}5,3,2{2n。∴切线方程为1191161zyx，例3．在椭球面44222zyx的位于第一卦限部分上求一点，使得在此点的切平面与三个坐标面所围成的三棱锥的体积最小。解：设222(,,)44Fxyzxyz，xFx8，yFy2，zFz2，在第一卦限的椭球面上任取一点)0,0,0)(,,(zyxzyxM，则过点M的切平面方程为0)(2)(2)(8zZzyYyxXx，∵点),,(zyxM在椭球面上，满足44222zyx，故切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为其截距式方程为1441zZyYxX，.3844161xyzzyxV∴切平面方程为44zZyYxX，下面来求xyzV38在条件44222zyx下的最小值，令),,,(zyx)44(38222zyxxyz，08382xyzxx，02382yzxyy，02382zxyzz，044222zyx，解得：31x，32y，32z。∵函数V在第一卦限内求得的驻点是唯一的，且V必有最小值，∴椭球面在点)32,32,31(处的切平面与三个坐标面所围成的三棱锥体积最小。231.,,240.yxzxxyz求曲线上的一点使在该点的切线平行于平面22232.(1,1,2),.nzxyPuxyzPn设是在点处指向朝下的法向量求在点处沿方向的方向导数练习2224303.330xyzxyzxyz过直线作曲面的切平面，求切平面方程。1111.(1,1,1),(,,)39272.2,2,12,2,1,221cos,cos,cos,333()8,16,12,2218161212.333PnxygraduPzl答案113.:(1,0,0)(1,6,6)011:1,2210xyzxxyz直线，切点或切平面方程或22225.(,)22:1.fxyxyxyxDxy求函数在上的最大值和最小值332224.:(1)3(2)(,)2x2y2z-20.zxyxyzzxyxyzxzyz求下列函数的极值由所确定226.3321,.xyxy过椭圆上任一点作椭圆的切线求各切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值4.(1)(1,1),(0,0),270,60,(1,1).90,0,(0,0).AA驻点为极小值点为不是极值点624,188,2202222yz,02222xz02-2z2y2x)2(2222zzzzyxyxzzyyxzzxyzxzzyx代入原方程得答案或提示624,624,61,0,61222xz)22()1xz2)(22()22)(xz2(xz)63,63(),63,63(2211222222111zMzMCByxzAyxzzxyxzMMMM极大值为为极大值点极小值为为极小值点驻点为2222222222225.(,)22:1.(,),(,)1.(,.)22(1)0,0,1031,;0,1223133(,)1,()2223133(,)1,()222xyfxyxyxyxDxyfxyDfxyxyFxyxyxyxxyFFxyxyxyff在内无驻点再求在的边界上的极值这相当于求在条件下的的极值令由得驻点或最小值最大值(0,1)1f6.1(3)(3)11[][]2332(3)(3)xyyxyxSxyxyxyxyxy三角形面积222222(,,)(3)(3)(3321)0,0,3321,81,412211,;,442211,())48xyFxyxyxyxyxyFFxyxyxyyxyyxyxySS令由得或驻点或驻点处最小值25137.113(2)(3)(4)(3)2iiieLn计算函数值及主值：（）(）（）332228.(1)(1)z01(),z0z00(2),0xiyifzxyf(z)zz讨论下列函数的可导性与解析性：（）33(3)23f(z)xyi9.(cossin),()(0)0.xuexyyyfzuivf已知求解析函数，并满足5213(2)47.(1)3(cos5(2k1)isin5(2k1));e1(2)(13);(3);(4)ln3(21);22kiieik9.()(cossin)(sincos)xxfzexyyyiexyyy8.120,0,0(3230,CRzzzxy（（）满足条件，但不可导，不解析；（）可导不可导不解析；）可导处处不解析；